5.3. Основные элементы геодезических вычислений
В ходе топогеодезических работ при обработке результатов измерений на местности углов и расстояний (результатов полевых измерений) часто приходиться сталкиваться с громоздкими и сложными вычислениями, которые состоят из отдельных элементов.
Обработку результатов измерений при выполнении топогеодезических работ производят аналитическим или графическим методом.
При аналитическом методе для вычисления используют: электронные вычислительные машины (ЭВМ), микрокалькуляторы (МК), счислитель СТМ, логарифмическую линейку.
При необходимости перевода угла, величина которого задана в делениях угломера, в градусы, эту величину умножают на 6, так как одно большое деление угломера содержит 6º. Например, необходимо перевести в градусную меру угол, равный 19-27. Для этого величину угла записываем, как 19,27. Затем умножаем ее на 6 и получаем 115,62º.
Для осуществления противоположного действия, то есть для перевода угла из градусной меры в деления угломера, его величину делят на 6. Но при этом, если угол задан в градусах, минутах и секундах, нужно предварительно последовательным делением на число 60 (столько секунд в одной минуте и столько минут в одном градусе) перевести вначале секунды в доли минут, а затем минуты с учетом полученной доли – в доли градуса.
Пример. Перевести в деления угломера значение 128°36′17′′.
1. Перевести значения секунд в доли минуты: 17′′ : 60 = 0,28′.
2. Перевести значения минут с учетом полученной доли минуты в доли градуса:
3. Перевести величину угла из градусной меры в деления угломера:
(128° + 0,6°) : 6 = 128,6° : 6 = 21-43.
Для перевода величины угла, заданного в делениях угломера, в градусы и минуты и обратно можно использовать таблицы приложения Д. Примеры работы с таблицами приведены в этом же приложении.
При графическом методе обработку результатов измерений производят на карте (фотоснимке с координатной сеткой) или с помощью номограммы НИХ. Порядок работы с номограммой инструментального хода дан в Инструкции по ее использованию.
Основными элементами геодезических вычислений являются:
переход от дирекционного угла одного направления к дирекционному углу другого направления, определяемого с этой же точки;
определение величины горизонтального угла по дирекционным углам направлений, составляющих этот угол;
решение прямой геодезической задачи;
решение обратной геодезической задачи;
решение треугольника по двум углам и одной стороне;
решение треугольника по двум сторонам и углу между ними;
Переход от дирекционного угла одного направления к дирекционному углу другого направления, определяемого с этой же точки, осуществляется при определении на местности дирекционных углов ориентирных направлений и координат привязываемых точек, а также при выполнении графических построений и измерений на карте (планшете).
Дирекционный угол определяемого направления равен дирекционному углу известного (исходного) направления плюс горизонтальный угол, отсчитанный по ходу часовой стрелки от известного направления к определяемому (рисунок 5.3а). Если полученный дирекционный угол больше 60-00 (360°), то его уменьшают на эту величину.
где α2 – дирекционный угол определяемого направления;
α1 – дирекционный угол известного (исходного) направления;
ß – горизонтальный угол, отсчитанный по ходу часовой стрелки,
от известного направления к определяемому.
Угол ß отсчитывается по ходу часовой стрелки, потому что так удобнее в связи с тем, что почти все шкалы приборов, которыми измеряются горизонтальные углы, оцифрованы по ходу часовой стрелки. По ходу часовой стрелки измеряются также и азимуты, и дирекционные углы. В дальнейшем часто угол между двумя направлениями, отсчитываемый по ходу часовой стрелки, будет обозначаться символом ß с добавлением соответствующего индекса.
Пример 2. α1 = 54-23; ß = 9-28
α2 = 54-23 + 9-28 − 60-00 = 3-51.
Иногда при выполнении топогеодезических работ появляется необходимость измерять угол ß от определяемого направления. В данном случае правило для вычисления будет следующее.
Дирекционный угол определяемого направления равен дирекционному углу известного (исходного) направления минус горизонтальный угол, отсчитанный по ходу часовой стрелки от определяемого направления к известному (рисунок 5.3б). Если исходный дирекционный угол меньше значения горизонтального угла, то к нему прибавляют 60-00 (360°)
где α2 – дирекционный угол определяемого направления;
α1 – дирекционный угол известного (исходного) направления;
ß – горизонтальный угол, отсчитанный по ходу часовой стрелки,
от определяемого направления к известному.
Пример 2. α1 = 7-34; ß = 10-57.
α2 = 7-34 + 60-00 – 10-57 = 56-77.
Определение величины горизонтального угла по дирекционным углам направлений, составляющих этот угол, осуществляется при определении координат привязываемых точек.
Горизонтальный угол равен разности дирекционных углов правого и левого направлений, составляющих угол (рисунок 5.3а).
где ß – горизонтальный угол;
α2 – дирекционный угол правого направления;
α1 – дирекционный угол левого направления.
Если вычитаемый дирекционный угол (левого направления) больше уменьшаемого (правого направления), то к последнему прибавляют 60-00 (360°).
Пример 2. α2 = 27-49; α1 = 38-42.
Решение прямой геодезической задачи сводится к нахождению прямоугольных координат привязываемой точки (ХВ, УВ) по известным прямоугольным координатам исходной точки (ХА, УА), расстоянию между ними ДАВ и дирекционному углу с исходной точки на привязываемую αАВ (рисунок 5.4).
При решении прямой геодезической задачи на карте необходимо:
нанести на карту исходную точку А по известным прямоугольным координатам;
нанести на карту привязываемую точку В по известным полярным координатам;
определить по карте координаты точки В.
Порядок нанесения точек на карту по координатам и порядок определения координат точек по карте изложен главе 2.
При аналитическом методе решения первоначально нужно определить приращения прямоугольных координат привязываемой точки ΔХ и ΔУ относительно координат исходной, а затем рассчитанные приращения прибавить к координатам исходной точки (ХА, УА). На рисунке 5.4 показан случай, когда дирекционный угол αАВ с исходной точки на указанную не превышает 15-00 (90˚), то есть находится в первой четверти. В данной ситуации оба приращения координат будут положительными. В других случаях, когда дирекционный угол будет не в первой четверти, хотя бы одно из приращений будет отрицательным.
Величины приращений координат могут быть рассчитаны с использованием величины угла румба r и расстояния ДАВ между точками. Румб – острый угол между вертикальной линией сетки карты и направлением с исходной точки на привязываемой. Из рисунка 5.5 следует, что расстояние между точками в прямоугольных треугольниках является гипотенузой, а приращения координат – катетами: ΔХ – прилежащий к румбу, а ΔУ – противолежащий к нему. Используя формулы тригонометрии, получаем:
Если используемое вычислительное средство не позволяет рассчитать величину косинуса угла, и нет таблицы косинусов, то величина косинуса определяется по формуле: