Об одном достаточном условии существования периодической части в группе Шункова Текст научной статьи по специальности «Математика»

Группа G насыщена группами из множества групп, если любая конечная подгруппа K из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной некоторой группе из X. Множество X из приведенного выше определения называется насыщающим множеством для группы. Под группой Шункова G понимается группа, в которой для любой её конечной подгруппы H в фактор-группе NG (H)/H любые два сопряженных элемента простого порядка порождают конечную подгруппу. Группа Шункова не обязана быть периодической. Поэтому вопрос о расположении элементов конечного порядка в группе Шункова с условием насыщенности приходится решать отдельно. Если в группе G все элементы конечных порядков содержатся в периодической подгруппе группы G, то она называется периодической частью группы G. Ранее доказано, что периодическая группа Шункова , насыщенная конечными простыми неабелевыми группами лиева типа ранга 1, изоморфна группе лиева типа ранга 1 над подходящим локально конечным полем. В данной работе рассматриваются произвольные группы Шункова (не обязательно периодические). Доказано, что группа Шункова G, насыщенная группами из множества конечных простых групп лиева типа ранга 1, обладает периодической частью, которая изоморфна простой группе лиева типа ранга 1 над подходящим локально конечным полем.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Шлепкин Алексей Анатольевич

On a Sufficient Condition for the Existence of a Periodic Part in the Shunkov Group

The group G is saturated with groups from the set of groups if any a finite subgroup K of G is contained in a subgroup of G, which is isomorphic to some group in The set X from the above definition is called the saturating set for the group. By the Shunkov group G we mean a group in which for any of its finite subgroup H in the factor group NG (H)/H any two conjugate elements of prime order generate a finite subgroup. The Shunkov group does not have to be periodic. Therefore, the problem of the location of elements of finite order in the Shunkov group with the saturation condition must be solved separately. If in a group G all elements of finite orders are contained in a periodic subgroup of the group G, then it is called the periodic part of the group G. It was proved that a periodic Shunkov group , saturated with finite simple non-abelian groups of Lie type of rank 1, is isomorphic to a group of Lie type of rank 1 over a suitable locally finite field. In this paper we consider arbitrary Shunkov groups (not necessarily periodic). It is proved that the Shunkov group G, saturated with groups from the set of finite simple groups of Lie type of rank 1, has a periodic part that is isomorphic to a simple group of Lie type of rank 1 over a sutable locally finite field.

Текст научной работы на тему «Об одном достаточном условии существования периодической части в группе Шункова»

Онлайн-доступ к журналу: http: / / mathizv.isu.ru

2017. Т. 22. С. 90-105

УДК 512.54 МЭС 20К01

Об одном достаточном условии существования периодической части в группе Шункова

Сибирский федеральный университет

Аннотация. Группа О насыщена группами из множества групп, если любая конечная подгруппа К из О содержится в подгруппе группы С, изоморфной некоторой группе из X. Множество X из приведенного выше определения называется насыщающим множеством для группы. Под группой Шункова О понимается группа, в которой для любой её конечной подгруппы Н в фактор-группе Ыа (Н) /Н любые два сопряженных элемента простого порядка порождают конечную подгруппу. Группа Шункова не обязана быть периодической. Поэтому вопрос о расположении элементов конечного порядка в группе Шункова с условием насыщенности приходится решать отдельно. Если в группе О все элементы конечных порядков содержатся в периодической подгруппе группы С, то она называется периодической частью группы С. Ранее доказано, что периодическая группа Шункова, насыщенная конечными простыми неабелевыми группами лиева типа ранга 1, изоморфна группе лиева типа ранга 1 над подходящим локально конечным полем. В данной работе рассматриваются произвольные группы Шункова (не обязательно периодические). Доказано, что группа Шункова С, насыщенная группами из множества конечных простых групп лиева типа ранга 1, обладает периодической частью, которая изоморфна простой группе лиева типа ранга 1 над подходящим локально конечным полем.

Ключевые слова: насыщенность группы множеством групп, группа Шункова.

Группа О насыщена группами из множества групп X, если любая конечная подгруппа К из О содержится в подгруппе группы О, изоморфной некоторой группе из X [17]. Множество X из приведенного выше определения называется насыщающим множеством для группы О [4].

Теорема. Группа Шункова О, насыщенная группами из множества конечных простых групп лиева типа ранга 1, обладает периодической частью, которая изоморфна простой группе лиева типа ранга 1 над подходящим локально конечным полем.

При доказательстве данной теоремы мы будем использовать обозначения и схему доказательства из [15].

2. Доказательство теоремы

Пусть G — из условия теоремы. Положим

где q,n не фиксируются (в случае > 3). Тогда с точностью до

изоморфизма ШТ — множество всех конечных простых групп лиева типа ранга 1 [24], и ШТ является насыщающим множеством для группы G.

Лемма 1. Силовская 2-подгруппа S - группы G одного из следующих видов:

1. S = (а2 = v2 = l,av = а2 -1) — полудиэдральная группа (S изоморфна силовской 2 - подгруппе Us < S. Осталось показать, что S < S X (w). Действительно, как нетрудно видеть, S насыщена сплетенными группами, и по [16] S X = S. □

Лемма 6. Пусть S — вида 8 из условия леммы 1. Если Rn < S, где Rn — (я>п) х , \ап\ = \bn\ > 2, то S - из утверждения леммы 5.

Лемма 7. Пусть S — вида 8 из условия леммы 1. Если Dn < S, где Dn = , где S — квазициклическая 2-группа, х — инволюция.

Доказательство. Если S ранга 2, то лемма доказана в связи с утверждением леммы 5. Предположим, что S — квазициклическая 2-группа. Тогда |Dn : Cd„(S)\ ^ 2, и для некоторой инволюции х € S, S х — подгруппа в S.

Лемма 8. Ш1(1) содержит бесконечно много неизоморфных групп, и для любой группы К € £DT(1)

где q,r — нечётные и г > 3.

Доказательство. По лемме 3 G содержит бесконечную локально конечную подгруппу. Последнее означает , что порядки групп из множества £DT(1) не ограничены в совокупности, т. е. Ш1(1) содержит бесконечно много неизоморфных конечных подгрупп.

Докажем второе утверждение леммы. Если силовская 2-подгруппа S группы G конечна, то из леммы 4 и того факта, что ©(1) ф 0, вытекает, что либо S — полудиэдральная группа, либо S — сплетенная группа. Следовательно, если для некоторой конечной подгруппы К группы G, К € ©(1), то К

Us(q), где q — нечетно, а если К ^ ©(1), то силовская 2-подгруппа Sk группы К является группой диэдра, К

— нечетное, больше 3.

Пусть Б — бесконечная группа. Тогда Б к — 2-ранга два (лемма 4) и по [9], [21]

где д, г — нечетные и г > 3. □

Лемма 9. Все инволюции в О сопряжены. Все четверные подгруппы из О сопряжены.

Доказательство. Данное утверждение доказывается аналогично доказательству лемм 7,8 из [15] с учетом предложения 20 из [3]. □

Лемма 10. ©(1) содержит бесконечно много неизоморфных групп.

Доказательство. Предположим обратное. Тогда порядки групп из ©(1) ограничены в совокупности.

1. Пусть х — инволюция из О. Тогда Сс(х) содержит бесконечную локально конечную подгруппу.

По лемме 8 множество 21(1) содержит бесконечно много неизоморфных групп. Следовательно, Сс(х) содержит бесконечную локально конечную подгруппу. Пункт 1 доказан.

2. Множество простых делителей порядков элементов из Сс(х) конечно.

Поскольку множество ©(1) содержит конечное число неизоморфных групп, то существует такое натуральное т, что для любой группы У € ©(1), \У\ < т. Возьмем в Са