Лекции Вектор-функция скалярного аргумента
Вектор-функция (определение 1.1), способы её задания.
Радиус-вектор и годограф, параметрическое задание годографа.
Производная вектор-функции (определение 1.6).
Геометрический смысл производной вектор-функции.
Правила дифференцирования вектор-функций.
1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ
Определение 1.1 Если каждому значению скалярного аргумента поставлен в соответствие вектор трехмерного пространства R 3 , то говорят, что на множестве Х задана вектор-функция (или векторная функция ) скалярного аргумента t .
Если в пространстве R 3 задана декартова система координат О xyz , то задание вектор — функции , равносильно заданию трех скалярных функций х( t ), y ( t ), z ( t ) – координат вектора :
где — координатные орты.
1.2. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЛИНИЯ, КАК ГОДОГРАФ РАДИУСА-ВЕКТОРА
Определение 1.2 Если начало всех векторов , помещено в начало координат, то они называются радиус–векторами.
Определение 1.3 Линия, являющаяся геометрическим местом концов радиусов-векторов , , называется годографом вектор-функции , а их общее начало – полюсом годографа.
Если параметр t – время, а — радиус-вектор движущейся точки, то годограф функции является траекторией движущейся точки.
Уравнение годографа можно записать в векторной форме (1.2) или в параметрическом виде:
В частности, если вектор-функция с изменением аргумента меняет только свой модуль, а направление не изменяет ( ), то годографом такой вектор- функции будет прямолинейный луч, исходящий из начала координат; если же меняется только направление вектора, а модуль его остается неизменным ( ), то годографом вектор-функции будет кривая, расположенная на сфере с центром в полюсе и радиусом, равным постоянному модулю вектора.
1.3. ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ПРОИЗВОДНАЯ ВЕКТОР–ФУНКЦИИ
Определение 1. 4 Вектор называется пределом вектор-функции при , если
Определение 1.5 Вектор-функция называется непрерывной в точке t 0, если она имеет в этой точке предел, равный значению вектор-функции в этой точке:
Определение 1.6 Производной вектор-функции в точке t называется предел отношения приращения вектор-функции к приращению аргумента при :
1.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ
Геометрический смысл первой производной вектор-функции скалярного аргумента заключается в том, что эта производная представляет собой новый вектор, направленный по касательной к годографу: . Покажем это.
Будем предполагать, что годограф рассматриваемой вектор-функции есть непрерывная линия, имеющая касательную в любой своей точке.
Дадим аргументу t приращение , тогда геометрически отношение — это некоторый вектор , лежащий на секущей ММ’. При этот вектор поворачивается и превращается в вектор , лежащий на касательной и направленный в сторону возрастания t . Таким образом, вектор
будет единичным вектором касательной, ориентированный в сторону возрастания параметра t .
Следовательно, вектор можно взять в качестве направляющего вектора касательной к кривой в точке ), (или ), и уравнение касательной записать в виде:
Если t – время, а — радиус-вектор точки , движущейся в трёхмерном пространстве, то о тношение называется средней скоростью точки на отрезке [ t ; t + t ].
Механический смысл первой производной вектор-функции заключается в том, что эта производная представляет собой скорость точки М в момент t :
Правила дифференцирования вектор-функций
, т.е. при дифференцировании вектор-функции дифференцируются её координаты;
, (где — постоянный вектор, 0 – нулевой вектор);
, где — постоянное число;
, где u – скалярная функция от t ;
, где – скалярное произведение;
, где – векторное произведение.
Докажем правило 1, пользуясь правилами вычитания векторов и деления вектора на число:
Доказательство остальных правил основываются на правиле 1 и правилах действий с векторами.
Пример 1.1 : Дана вектор-функция . Построить её годограф и составить уравнение ее касательной в произвольной точке.
Решение. Для любой точки ( x , y , z ) годографа вектор – функции имеем: x = acost ; y = asint ; z = bt и поэтому при любом выполняется равенство x 2 + y 2 = a 2 , а образующая параллельна оси Oz . Если параметр t интерпретировать как время, то при равномерном движении по окружности проекции конца радиус–вектора на плоскость Oxy его проекция на ось Oz будет двигаться равномерно и прямолинейно со скоростью b . Иначе говоря, аппликата точки годографа вектор-функции растет пропорционально углу поворота ее проекции на плоскость Oxy . Поэтому искомый годограф будет иметь вид, изображенный на рис.3 и он называется винтовой линией. Для нахождения касательных к годографу (винтовой линии) найдем производную вектор–функции.
Рис. 3 По правилу 1:
Уравнение касательной к винтовой линии имеет вид
Если интерпретировать годограф вектор–функции как траекторию движущейся материальной точки, то ее скорость равна = = ,
т.е. является постоянной по величине. Постоянными являются также и ее проекции на плоскость O х y и ось Oz .
Пример 1. 2 Показать, что кривая лежит на эллипсоиде.
Решение. Путём подстановки проверяется выполнение уравнения эллипсоида
Пример 1.3 Доказать, что если длина векторов постоянна в окрестности точки и существует производная , то векторы и — ортогональны.