Кристаллические структуры. Решетки Браве, решетки с базисом. Вектор решетки. Выбор базисных векторов. Объем элементарной (примитивной) ячейки. Ячейка Вигнера-Зейтца

В идеальном бесконечном кристалле равновесные положения ядер (атомов) образуют кристаллическую решетку, которая характеризуется трансляционной симметрией. Это означает, что существуют три некомпланарных базисных вектора , , , таких, что решетка совмещается сама с собой при параллельных переносах на вектор решетки

где n1, n2, n3 – любые целые числа (М. Лауэ, 1912 г.; В. Брэгг, 1913 г.). Совокупность всех векторов решетки определяет узлы пространственной решетки.

Параллелепипед, построенный на базисных векторах , , называют элементарной (примитивной) ячейкой. Бесконечным повторением элементарной ячейки можно построить пространственную решетку. Объем элементарной ячейки:

Выбор элементарной ячейки не является однозначным, что легко увидеть на примере двумерной решетки (см. рис. 4.2).

Элементарная ячейка может быть выбрана как ячейка Вигнера-Зейтца. Она строится следующим образом. Из данного узла решетки проводятся отрезки прямых до соседних узлов. В середине каждого отрезка проводятся плоскости перпендикулярные данному отрезку. Эти плоскости образуют многогранник, который представляет собой ячейку Вигнера-Зейтца данной решетки. Примеры построения ячеек Вигнера-Зейтца для двумерной решетки приведены на рис. 4.3.

Элементарная ячейка может содержать один или более атомов. Если она содержит только один атом, то его помещают в узел, а решетку называют простой или решеткой Браве. Если элементарная ячейка содержит два или более атома (см.рис.4.4), то решетку называют сложной или решеткой с базисом.

Помимо трансляционной симметрии пространственная решетка обладает точечной симметрией, т.е. симметрией относительно инверсии, поворотов и отражений. Имеется 14 точечных групп и соответственно, 14 различных решеток Браве, которые подразделяются на семь систем или сингоний: триклинная, моноклинная, ромбическая, тригональная, тетрагональная, гексагональная, кубическая.

Симметрия примитивной ячейки не всегда отражает симметрию решетки Браве, а ячейка Вигнера-Зейтца – всегда.

Точечную симметрию решетки отражает также кристаллографическая элементарная ячейка. Для кубических структур(a1 = a2 = a3 = a) характерны простая, объемноцентрированная (ОЦК) и гранецентрированная (ГЦК) решетки, элементарные ячейки которых указаны на рисунке 4.5.

Рис.4.5. Элементарные ячейки кубических структур. Расположение атомных центров в: а) простой кубической решетке; б) ОЦК решетке, (a/2, a/2, a/2); в) ГЦК решетке, (a/2, a/2, 0); (a/2, 0, a/2); (0, a/2, a/2).

Решетка типа алмаза состоит из двух взаимопроникающих ГЦК решеток, смещенных вдоль пространственной диагонали кубической решетки на 1/4 длины этой диагонали (рис. 4.6).

Рис.4.6. Элементарная кубическая ячейка решетки алмаза. Узлы, соответствующие ГЦК решетке, смещенной на вектор (a/4, a/4, a/4) вдоль пространственной диагонали, оставлены светлыми; связи между ближайшими соседями выделены жирными линиями.

У многих кристаллов структура характеризуется гексагональной плотной упаковкой (ГПУ). Она состоит из двух простых гексагональных решеток с базисом (a/2, a /6, с/2) по отношению к прямоугольным осям xyz (рис. 4.7). В идеальной ГПУ решетке модуль базисного вектора равен | | = | | = | | = a, при этом справедливо соотношение

c/a = 2 (4.3)

Рис.4.7. Относительное расположение атомов в структуре с гексагональной плотной упаковкой элементарные ячейки составляют шестигранную призму.

Часто встречаются соединения со структурой типа хлорида натрия. Кристалл NaCl состоит из равного числа ионов Na + и Cl – , размещенных в узлах простой кубической решетки таким образом, что ближайшими соседями каждого иона являются шесть ионов другого вида (рис.4). Эта структура описывается как ГЦК решетка с базисом состоящим из иона Na + (0,0,0) и иона Cl – (a/2, a/2, a/2).

Рис.4.8. Структура кристалла NaCl: · –ионы Na + ; o –ионы Cl – .

Для обозначения направлений и плоскостей в кристалле используются индексы Миллера. Совместим начало системы координат с одним из узлов решетки, направив оси параллельно векторам , , . Тогда индексы направления или узла с радиусом есть наименьшие целые числа [u, v, w], пропорциональные соответствующим проекциям вектора (x1, y1, z1) на оси координат, выраженным в единицах длин ребер элементарной ячейки, т.е.

Индексы Миллера для плоскости записываются в круглых скобках (hkl) и представляют собой наименьшие целые числа, которые удовлетворяют соотношению

где A, B, С – длины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях, параллельных ребрам элементарной ячейки.

Расстояние между соседними плоскостями с индексами Миллера (hkl) вычисляется по формулам

где a1, a2, a3 – углы между нормалью к плоскости и осями , , соответственно.