Распространение радиально-ограниченных вихревых пучков в ближней зоне. Часть II. Результаты моделирования Текст научной статьи по специальности «Физика»

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Хонина Светлана Николаевна, Ковалёв Алексей Андреевич, Устинов Андрей Владимирович, Волотовский Сергей Геннадьевич

Проведён детальный анализ дифракции вихревого пучка на круглой микроапертуре в ближней зоне с использованием различных алгоритмов расчёта: векторного интегрального преобразования Релея-Зоммерфельда, разложения по плоским волнам, в том числе с модификацией Мансурипура, а также конечно-разностного временного метода, реализованного в программном продукте фирмы R-Soft. Результаты непараксиального моделирования дифракции вихревого пучка на круглой микроапертуре показывают осциллирующий характер теневой области вихревого пучка: размер световой воронки то увеличивается, то уменьшается при распространении пучка, и он может оказаться значительно меньше предсказанного параксиальной теорией. Такой характер подтверждён и в векторном случае. В данной работе алгоритм быстрого расчёта ПВ был модифицирован на основе подхода, предложенного Мансурипуром. При такой модификации матрица поляризации не имеет особенностей, но зато предсказывает появление y-компоненты при распространении, даже если изначально волна была полностью x-поляризованной. Также анализ полученных для вихревых пучков выражений показывает, что осевые значения суммарной интенсивности не будут нулевыми при порядках вихря |m|=

PROPAGATION OF THE RADIALLY-LIMITED VORTICAL BEAM IN A NEAR ZONE. PART II. RESULTS OF SIMULATION

Detailed analysis of diffraction of a vortical beam by a circular microaperture in a near zone with use of various algorithms of calculation is carried out: vectorial Rayleigh-Sommerfeld diffraction integral (RS), plane wave expansion (PWE), including Mansuripur's modification, and finite-difference time domain (FDTD) method realised in the R-Soft software product. Results of nonparaxial modelling for diffraction of a vortical beam by a circular microaperture show oscillating character of shadow area of a vortical beam : the size of a light vortex increases and decreases as the beam propagates, and it can be much less by size in comparison with predicted by paraxial theory. Such character is confirmed in a vector case also. In the work the algorithm of fast calculation of PWE has been modified on the basis of the approach offered by Mansuripur. At such modification the polarisation matrix has no singularity, but predicts appearance y-components at propagation even if initially the wave was completely x-polarised. The analysis of the expressions received for vortical beams shows, that axial values of total intensity will not be zero for vortical order |m|=

Текст научной работы на тему «Распространение радиально-ограниченных вихревых пучков в ближней зоне. Часть II. Результаты моделирования»

РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИАЛЬНО-ОГРАНИЧЕННЫХ ВИХРЕВЫХ ПУЧКОВ В БЛИЖНЕЙ ЗОНЕ.

ЧАСТЬ II. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Хонина С.Н.1’2, Ковалёв А.А.1’2, Устинов А.В.1, Волотовский С.Г.1

1 Учреждение Российской академии наук Институт систем обработки изображений РАН,

2 Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва

Результаты непараксиального моделирования дифракции вихревого пучка на круглой микроапертуре показывают осциллирующий характер теневой области вихревого пучка: размер световой воронки то увеличивается, то уменьшается при распространении пучка, и он может оказаться значительно меньше предсказанного параксиальной теорией. Такой характер подтверждён и в векторном случае.

В данной работе алгоритм быстрого расчёта ПВ был модифицирован на основе подхода, предложенного Мансурипуром. При такой модификации матрица поляризации не имеет особенностей, но зато предсказывает появление у-компоненты при распространении, даже если изначально волна была полностью х-поляризованной. Также анализ полученных для вихревых пучков выражений показывает, что осевые значения суммарной интенсивности не будут нулевыми при порядках вихря \ш\ < 2 .

Ключевые слова: дифракция на круглой апертуре, вихревой пучок, разложение по плоским волнам в модификации Мансурипура.

В первой части статьи было проведено сравнение алгоритмов расчёта с использованием векторного интегрального преобразования Релея-Зоммерфельда (РЗ) и разложения по плоским волнам (ПВ) по точности и скорости вычислений на примере дифракции плоской волны на круглой апертуре.

Как было показано в предыдущей части, классические методы РЗ и ПВ не подразумевают наличия у-компоненты в дифракционной картине изначально х-поляризованного поля. В работе [1] Мансурипу-ром было рассмотрено изменение поляризации для линейно-поляризованной волны при прохождении призмы, а затем принцип виртуальных призм был применён к методу разложения по плоским волнам. На основе такого подхода [2] можно получить отличную от классической матрицу поляризации, не имеющую особенностей, но учитывающую наличие всех компонент электрического поля.

В данной работе предложен быстрый алгоритм реализации метода ПВ с модификацией Мансурипу-ра для полей с радиальной симметрией. Результаты применения этого алгоритма в задаче расчёта дифракции вихревых пучков на круглой апертуре минимально отличаются (менее 1%) от результатов метода ГБТБ, реализованного в программном продукте фирмы Я-8ой.

Вихревые пучки (лазерные пучки с винтовыми фазовыми особенностями) [3, 4] привлекают внимание исследователей своими особыми свойствами, в том числе наличием орбитального углового момента, кото-

рый используется в оптическом манипулировании для вращения захваченных пучком микрообъектов [5, 6].

Фазовые дислокации, определяющие нулевую интенсивность, представляют собой перспективное средство в метрологии. Т.к. точность определения положения дислокации не ограничена классическим дифракционным пределом (градиент изменения фазы в этом случае неограниченно возрастает), а лишь отношением сигнал/шум, то геометрия объекта при условии наличия априорной информации об объекте может быть определена с очень высокой точностью [7]. На этом подходе основывается метод оптиковихревой метрологии [8], успешно применённый в оптико-вихревой интерферометре, позволяющем отслеживать смещение объектов с нанометрической точностью [9].

Чувствительность сингулярных пучков к изменениям волнового фронта и различного рода дефектам может использоваться для высокоточного тестирования оптических систем [10].

Таким образом, исследование вихревых пучков в микромасштабе является актуальной задачей. Однако аналитическое решение хорошо известно только для гауссовых вихревых пучков, а для других типов волн (плоской, конической) рассматривается как правило в рамках скалярной теории, в параксиальной области или дальней зоне дифракции [11-17].

Данная часть статьи посвящена детальному анализу дифракции вихревых пучков на круглой микроапертуре в ближней зоне с использованием непараксиальных векторных алгоритмов.

1. Непараксиальная скалярная модель: сравнение алгоритмов

Рассмотрим дифракцию вихревого пучка на круглой диафрагме радиуса г0:

где (г, ф) - полярные координаты во входной плос-

кости, сігс(г / г0) =

1, Г £ г0, 0, г > г0.

Ранее авторами рассматривалась [11, 12] дифракция конической волны и гауссова пучка на спиральной пластинке в дальней зоне (фокальной плоскости Фурье-линзы), и были получены выражения с модифицированными функциями Бесселя. В [13, 14] получены выражения для скалярной параксиальной дифракции и дифракции Фраунгофера гауссова пучка на спиральной фазовой пластинке через гипер-геометрические функции.

В [18] рассматривалась уже дифракция с учётом векторного характера поля, были получены аналитические выражения для оптических вихрей с эллиптической поляризацией в начальной плоскости.

Была также предпринята попытка отойти от параксиального приближения и использовать менее грубую аппроксимацию [15]. В [16, 17] сделано то же самое, но получены аналитические выражения для оптических вихрей с радиальной или азимутальной поляризацией в начальной плоскости.

Как правило, дифракция на спиральной фазовой пластинке рассматривается в приближении тонкого оптического элемента, что фактически эквивалентно дифракции пучка с вихревой фазовой составляющей на апертуре того же радиуса соответствующего дифракционного оптического элемента.

При дифракции вихревого пучка с постоянной амплитудой на микроапертуре получить удобные аналитические выражения не удаётся.

В скалярной модели на оптической оси в этом случае будет нулевое значение интенсивности.

В табл. 1 показаны результаты моделирования в рамках скалярной непараксиальной модели дифракции вихревого пучка, имеющего порядок вихря т = 1, с постоянной амплитудой на круглой апертуре радиусом 101 в области г е [0,11,101],

Таблица 1. Распределение в ближней зоне дифракции на круглой апертуре вихревого пучка (т=1)

с постоянной амплитудой

Фаза в области апертуры радиусом 101 (г = 0)

Распределение интенсивности в области г е [0,11, 101], х е [-101, 101]

Распределение в плоскости г = 0,31, г е [0, 101]

Для моделирования использовался быстрый алгоритм ПВ (1.6), описанный в первой части и позволяющий корректно рассчитывать поперечные компоненты электрического поля на расстоянии вплоть до одной десятой длины волны. На графике в табл.1 приведены сечения интенсивности в плоскости г = 0,31, полученные при использовании формулы (1.1) (сплошная линия) и (1.6) (точечная линия).

В работе [19] было получено аналитическое выражение для радиуса центрального отверстия в вихревом пучке в зависимости от пройденного расстоя-

ния в параксиальном случае. Эта зависимость имела следующий вид: рт = (т + 1)1г /2 , где т - порядок вихревой фазовой сингулярности.

Однако при непараксиальном моделировании оказывается, что радиус теневой зоны имеет более сложный характер зависимости из-за явлений дифракции. Более подробно центральная часть вихревого пучка показана на рис. 1 а, а на графике рис. 1 б приведена зависимость радиуса воронки (до глобального максимума) в длинах волн от расстояния. Как видно из графика, радиус воронки растёт по па-

раболической огибающей, предсказанной в [19], с флуктуациями, вызванными дифракционными эффектами. При этом в плоскости г = 1 радиус центрального отверстия равен 1, что в точности совпадает с формулой р1 =*Л .

На рис. 1в-д приведены радиальные сечения на расстояниях г = 1, г = 71, г = 91, на которых видно соответствие графика рис. 1б радиусу глобального максимума, хотя имеются также локальные макси-

мумы, которые и формируют цепочкообразную структуру на рис. 1 а.

Заметим, что если принимать во внимание локальные максимумы, то размер световой воронки может оказаться значительно меньше ожидаемого. Например, как видно из рис. 1 г,д, при г = 71 радиусом воронки можно считать р1 »1, а при г = 91 - р1 »1 / 2.

Однако рассматриваемая зона дифракции (порядка нескольких длин волн) требует учитывать также векторный характер световых полей.

Рис. 1. Изменение размера световой воронки при распространении вихревого пучка: теневая область в плоскости Х2 (а), зависимость радиуса воронки (до глобального максимума) от пройденного расстояния (б), радиальные сечения в поперечных плоскостях на расстояниях г = 1, г = 71, г = 91 (в)-(д)

2. Непараксиальная векторная модель

2.1. Дифракция плоской волны с вихревой фазовой сингулярностью первого порядка: сравнение дифракционных интегралов При дифракции линейно-поляризованной вдоль оси х плоской волны с вихревой сингулярностью m = 1 на круглой апертуре выражения (1.17) из первой части приводят к следующим формулам:

Как было замечено в предыдущей части, при |т| = 1 для линейной х-поляризации по выражениям

(11.2) легко видеть, что суммарная интенсивность на оптической оси не будет равна нулю, как это предсказывает скалярная теория. Осевые значения поперечной компоненты действительно обнуляются, но продольная компонента остаётся ненулевой:

ik exp (ikz) r0 і r і ,

J exp |ik 2r 1 Jl I IT Ir dr

Выражения (1.25)-(1.26) в рассматриваемом случае сводятся к следующему виду [20]:

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎