Сравнительный анализ эффективности систем массового обслуживания с различной структурой

Введение. Многие социально-экономические системы реального мира (магазины, больницы, банки и т. д.) могут быть описаны как СМО – комплекс, состоящий из случайного входящего потока требований (событий), нуждающихся в обслуживании, дисциплины очереди и механизма, осуществляющего обслуживание [3]. Увеличение численности населения, быстрое развитие сферы услуг приводит к необходимости улучшения существующих и созданию новых, более эффективных систем массового обслуживания. При этом то, насколько хорошо функционирует система зависти не только от характеристик её отдельных элементов, но и от характера взаимосвязей этих элементов между собой, структуры системы. Разработка математических моделей и анализ показателей эффективности позволяют сделать рациональный выбор структуры СМО.

Постановка задачи. Пусть имеется неисчерпаемый источник заявок, который генерирует входящий поток требований с интенсивностью λ. Также имеется n обслуживающих устройств, каждое из которых обеспечивает поток обслуживания с интенсивностью μ. Предполагается, что в каждый момент времени может возникать только одна заявка. Каждое из обслуживающих устройств одновременно может обслуживать лишь одну заявку.

Заявка, поступающая в момент времени, когда все обслуживающие каналы заняты, становится в очередь, если перед ней стоит менее m заявок, или уходит, если перед ней стоит ровно m заявок (СМО с ограниченной длиной очереди).

Рассмотрим два варианта организации процесса обслуживания.

1. Обслуживающая система состоит из нескольких параллельно работающих одноканальных СМО, к аждая из которых имеет собственную очередь. Поступающие заявки равномерно передаются на вход каждой из одноканальных СМО. Таким образом, интенсивность потока заявок для каждой из них составляет λ/n.
2. Обслуживающая система представляет собой многоканальную СМО с единой очередью. Поступающие на вход системы заявки встают в единую очередь и затем распределяются между обслуживающими устройствами по мере их освобождения.

Требуется определить, какой из вариантов организации процесса обслуживания является наиболее эффективным.

Для оценки эффективности функционирования СМО могут использоваться различные критерии: абсолютная пропускная способность, относительная пропускная способность, вероятность отказа, среднее число занятых каналов и т. д. Выбор показателя качества для оценки эффективности СМО зависит от цели. Можно выделить цель клиента (заявки) и цель системы обслуживания (обслуживающих устройств). Клиенты стараются минимизировать время, проведенное в очереди, а системы обслуживания – сократить время простоя [1].

В данной работе в качестве критерия эффективности выберем среднее время ожидания, как показатель, наиболее важный для клиентов СМО. Среднее время ожидания вычисляется по формуле: tож = r / λ , где r – среднее число заявок в очереди. При этом наиболее эффективной будем считать СМО с наименьшим средним временем ожидания.

Теоретическая оценка эффективности СМО. Используя известные аналитические соотношения [1], найдем выражения для среднего времени ожидания при различных вариантах организации процесса обслуживания.

Для одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной очередью среднее число заявок, находящихся в очереди, определяется по формуле:

Здесь p = λ / μ – приведенная интенсивность потока.

Для многоканальной СМО с ожиданием и ограниченной очередью среднее число заявок, находящихся в очереди, определяется по формуле:

Здесь – вероятность того, что все каналы свободны.

Экспериментальная оценка эффективности СМО. Для определения показателей качества функционирования СМО может быть также использован метод имитационного моделирования. В настоящее время существует большое количество различных программных продуктов для проведения имитационного моделирования. Для решения поставленной задачи будем использовать среду AnyLogic – программное обеспечение для имитационного моделирования сложных систем и процессов, которое имеет специальную библиотеку (Enterprise Library) для моделирования дискретно-событийных (процессных) систем [2].

В качестве примера практической реализации на рисунке 1 представлена система из 4 одноканальных СМО, а на рисунке 2 – многоканальная СМО с единой очередью. Имеющиеся в AnyLogic модули позволяют исследовать поведение таких СМО в режиме реального времени, а также собирать всю требуемую статистику.

Рисунок 1 – Модель работы четырех одноканальных СМО с ожиданием и ограниченной очередью

Рисунок 2 – Модель работы многоканальной СМО с ожиданием и ограниченной очередью

Сравнительный анализ результатов моделирования. Сопоставим результаты исследования СМО, полученные теоретическим и экспериментальным путем. Для примера в таблице 1 приведены результаты исследований для СМО с 4 обслуживающими устройствами, максимальной длиной очереди 20 и интенсивностью потока обслуживания 0,25.