Оценка параметров нормального закона распределения по усеченной выборке Текст научной статьи по специальности «Физика»
Рассматривается задача о нахождении оценок параметров нормального закона распределения по результатам наблюдения случайной величины в ограннченном диапазоне. Оценки параметров находятся из условия максимума функции правдоподобия. Погрешность оценок ММП получена методом статистического моделирования на ЭЦВМ. Проведено сравнение дисперсий оценок, полученных ММП и нижних границ дисперсий оценок параметров распределения (границ Рао-Крамера).
Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Зленко Ю. А., Шумилкин В. Г.
Текст научной работы на тему «Оценка параметров нормального закона распределения по усеченной выборке»
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ И А Г И Том XXI 1990
УДК 533.6.071.08 : 532.57 : 621.375.8
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО УСЕЧЕННОЙ ВЫБОРКЕ
Ю. А. Зленко, В. Г. Шумилкин
Рассматривается задача о нахождении оценок параметров нормального закона распределения по результатам наблюдения случайной величины в ограниченном диапазоне. Оценки параметров находятся из условия максимума функции правдоподобия. Погрешность оценок ММП получена методом статистического моделирования на ЭЦВМ. Проведено сравнение дисперсий оценок, полученных ММП и нижних границ дисперсий оценок параметров распределения (границ Рао-Крамера).
Цифровые методы обработки экспериментальной информации предполагают наличие _ряда измерений изучаемого параметра или представление исследуемого случайного процесса (СП) в виде последовательности дискретных отсчетов. Статистические свойства оценок (математического ожидания, дисперсии и т. д.), построенных на основе дискретного представления СП при условии независимости отсчетов и репрезентативности выборки достаточно хорошо изучены. Однако в измерительной практике встречаются случаи, когда выборка не отвечает требованиям репрезентативности. Алгоритмы обработки таких выборок практически отсутствуют. Причина, побуждающая рассматривать модель усеченной выборки, это непланируемая потеря информации о части возможных значений измеряемой случайной величины, обусловленная несовершенством метода измерений или измерительной системы (ИС). Потеря информации может быть, в частности, связана с тем, что диапазон измерения ИС меньше диапазона возможных значений СВ. Этот случай имеет место, например, при выполнении измерений скорости потока методом ЛДИС.
ЛДИС с дифференциальной оптической схемой и определением скорости по методу дискретного измерения доплеровской частоты измеряет мгновенную скорость VI газового потока в дискретные моменты времени. Для определения средней скорости V и степени турбулентности г=а/У (где а2 — дисперсия мгновенной скорости) необходимо выполнить ряд измерений мгновенной скорости К; и затем соответствующим образом обработать результаты измерений. Алгоритм обработки должен учитывать специфические особенности работы ЛДИС. В частности, ЛДИС рассматриваемой схемы фиксирует только те значения У,, величина которых заключена в некотором фиксированном интервале [Ун, Ув]. Границы интервала Ун, Ув определяются полосой пропускания фильтра на входе блока выделения доплеровской частоты. Наличие границ 1/„ и Ув может привести к тому, что функция распределения зафиксированных значений скорости V, будет существенно отличаться от функции распределения мгновенных скоростей потока. Оценки средней скорости и пульсаций потока соответственно как средней арифметической и выборочной дисперсии результатов измерения в этом случае будут иметь значительные ошибки. Алгоритм оценки V и е методом максимального правдоподобия с учетом конечности полосы измерения [Ун, Vв] рассматривался в работе [1]. Погрешность оценок ММП в [1] не анализировалась. В настоящей работе исследуются статистические свойства оценок параметров нормального закона распределения по выборке, формируемой из результатов измерения в ограниченном диапазоне.
1. Случайная величина (СВ)Х имеет одномерный нормальный закон распределе-ния с параметрами тх и о0. Имеется выборка объемом п (х±. хп), из генеральной
совокупности N [тх, . Элементы выборки независимы и удовлетворяют условию ¿=1, 2. п (хн и хв—соответственно нижняя и верхняя граница вы-
борки). Требуется определить неизвестные параметры тх и о0 на основе (хи. хп). л д.
Оценки параметров тх и а0 определим методом максимального правдоподобия.
С учетом независимости Xi функция правдоподобия может быть записана в виде
где р (jq. х„ | тх, <Jq)— условная плотность появления данного ряда наблюдений
■(СВ)х (в диапазоне [хя, хв]), при условии, что математическое ожидание (СВ)* в генеральной СОВОКУПНОСТИ еСТЬ ГПХ И ДИСПерСИЯ .
Плотность распределения xt р(Хг\тх, Oq) определяется как
J ехр [— (х — mx)*l2<sl] dx
Стандартная форма уравнений правдоподобия представляет собой необходимые условия экстремума функции правдоподобия (1) и с учетом (2) в данном случае может быть записана в виде
2 _ 1 i Л 'i2 ао (— -хвЬ - -хЦг]
;о - — 2* W — тх ) +-J- UBe — лгн е *' > >
Оценки параметров тх и являются корнями системы уравнений (3),
Исследование свойств оценок тх и ад, получаемых ММП, затрудняется тем, что решить систему (3) в аналитическом виде не представляется возможным. Это значи-
тельно осложняет задачу анализа погрешностей оценок тх и о0. В связи с этим для исследования характеристик оценок ММП использован метод статистического моделирования на ЭЦВМ. Сущность метода сводится к следующему. Используя преобразование Н. В. Смирнова [2], вычисляются п значений (СВ)*, имеющих плотность распреде-А Л2
ления (2). Оценки тх и а0 находятся из решения системы уравнений (3) модифицированным методом Ньютона. Результаты расчетов, выполненных для различных значений параметров тх, <Sq , хн, хв, показали, что использование в качестве начального
приближения при решении (3) для тх средней арифметической и для »д — выборочной дисперсии обеспечивает хорошую сходимость и устойчивость итерационного процесса. В качестве математического ожидания и дисперсии оценок принимались выборочные средние и выборочные дисперсии:
найденные в результате ^-кратного повторения описанной процедуры отыскания оценок.
Подробные параметрические расчеты были выполнены при следующих значениях
параметров: я=50-г-200; #=100; ао=5-т-40%; Д*=0,5-н2,0; тх = 11
Ах =. —-в—, крайние величины интервала проанализированных значений тх
соответствуют варианту, когда границы интервала наблюдения (СВ)* совпадают с тх, т. е. наблюдается 50%-ное усеченное распределение. Результаты расчетов показали, что оценки ММП не имеют систематической ошибки.
2. Нижние границы дисперсий несмещенных оценок тх, а0 определяются из обобщенного неравенства Рао-Крамера [3] системой неравенств
— диагональные элементы матрицы /-*, обратной информационной матрице Фишера. Элементы матрицы Фишера определяются из соотношений:
д 1п Ьх д \пЬх дг1 дГ]
Для рассматриваемой системы оцениваемых параметров тх, о0 и функции Ьх, описываемой согласно (3), элементы информационной матрицы I определяются следующими выражениями: