Задача усиления и ремонта пластины с вырезом посредством накладки тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Научный руководитель: доктор физико-математических наук.

профессор Сильвестров Василий Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Желтков Владимир Иванович кандидат физико-математических наук, доцент Чекмарев Георгий Евгеньевич

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН

Защита состоится «14» июня 2005 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 в Тульском государственном университете по адресу: 300600, г. Тула, ГСП, пр. Ленина, 92 (9-101).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Автореферат разослан мая 2005 г.

Ученый секретарь Лк

диссертационного совета ч Л.А. Толоконников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена решению задачи уситения и ремонта бесконечной пластины с вырезом при помощи двумерной накладки, присоединенной к пластине жестко вдоль одной или нескольких кривых, в качестве которых могут выступать границы накладки и выреза или другие линии

Актуальность темы. Многие тонкостенные конструкции, в том числе и тонкие упругие пластины, содержат дефекты в виде отверстий и трещин, которые появляются в конструкции как в процессе изготовления, так и в процессе эксплуатации, например, в результате приложения интенсивных нагрузок или действия корроши Наличие отверстий в пластине вызывает концентрацию напряжений на границе отверстий и ведет, в конечном счете, к преждевременному выходу детали го строя На практике для подкрепления границ отверстий часто применяются так называемые ремонтные заплаты (двумерные накладки), соединенные с основной пластиной вдоль узких полос при помощи склеивания, сварки, часто расположенных заклепок и шурупов и т д В расчетах на прочность эти полосы в определенных рамках можно заменить линиями В свою очередь, ремонтные заплаты, вводимые для предотвращения разрушения, сами являются концентраторами напряжений, поэтому представляется актуальным исследование напряженного состояния пластин с отверстиями, подкрепленных двумерными накладками, и получение аналитических решений соответствующих задач теории упругости. Именно эту цель и преследует данная диссертационная работа.

В настоящее время достаточно полно изучено влияние одномерных (стрингеров или ребер жесткости) и двумерных накладок (ремонтных заплаток) на напряженное состояние пластин с дефектами в виде трещин Рассмотрены такие способы соединения, как дискретное соединение (в отдельных точках) и непрерывное соединение (вдоль отдельных линий или двумерных областей). Результаты этих исследований представлены в работах M П Саврука, В С Кравца, L R.F. Rose, С H Wang, G Dowrick, D G. Caitwright, F. Erdogan, К. Arm, L.M. Кеег, C.T. Lin, T Mura, T Swift, R A Mitchell, R M Wooley, D.J Chwirut и многих других авторов В отличие от пластин с трещинами, подкреплению вьфезов в пластинах посвящено значительно меньшее количество работ Задачи об усилении круглою или эллиптического отверстия в пластине при помощи ребер жесткости исследованы в работах А И Каландия, В M Александрова, С M Мхитаряна, Г H Савина, H П Флейшмана, Э И Григолюка, В M Толкачева, И Г. Арамановича, В И Тульчия и др Подкрепление круглых отверстий в пластине двумерными накладками, приклеенными к пластине вдоль своей поверхности, рассматривалось в работах H Engels, D Zakharov, W Beckcr, R.A Mitchell, R.M Wooley, D J Chwirut, P С Tse, K.J Lau, W H Wong и др. Исследования по ремонту пластин с отверстиями при помощи двумерных накладок, присоединенных к пластине вдоль отдельных линий, в настоящее время практически отсутствуют

Цель диссертационной работы. Разработка аналитических методов исследования напряженного состояния пластин с отверстиями, подкрепленных двумерными накладками, присоединенными к пластине вдоль одной или нескольких

Методы исследования. Для решения конкретных задач в зависимости от формы выреза, накладки и линий соединения применяются методы степенных рядов, конформных отображений, матричной краевой задачи Римана и интегральных уравнений Основой для всех исследований служат формулы Колосова -Мусхелишвили, выражающие напряжения и смещения в пластине и накладке через аналитические функции (комплексные потенциалы) Для численного решения системы сингулярных интегральных уравнений, к которой сводится задача об усилении выреза произвольной формы посредством двумерной накладки, применяется метод механических квадратур

Научная новизна полученных результатов. Развитие методов плоской теории упругости применительно к задачам об усилении пластин с вырезами двумерными накладками, присоединенными к пластине вдоль некоторых кривых Решение в замкнутой форме задач о ремонте пластины с круговым вырезом при помощи концентрической круглой накладки в случае различных способов соединения пластины с накладкой, о ремонте пластины с эллиптическим вырезом (в том числе и прямолинейной трещиной) при помощи конфокальной эллиптической накладки Исследование задачи ремонта выреза в пластине посредством двумерной накладки, присоединенной к пластине вдоль своей границы, в случае произвольной формы выреза и накладки, исследование задачи о ремонте пластины с круговым вырезом при помощи мшн олистной круглой вставки того же радиуса, присоединенной к пластине вдоль всей граничной окружности или отдельных ее дуг Изучение напряженного состояния пластины и накладки на линиях соединения и границе выреза, нахождение параметров, характеризующих прочность системы «пластина - накладка» к разрушению (максимальных напряжений на линиях соединения и границе выреза, коэффициентов интенсивности напряжений в случае разомкнутых контуров).

Достоверность основных научных положений и полученных результатов обеспечивается строгостью постановки задач и математических методов их решения, совпадением полученных решений в ряде частных случаев с известными решениями

Теоретическая ценность работы состоит в обосновании применимости методов плоской теории упругости к решению задач об усилении и ремонте пластин с вырезами при помощи двумерных накладок, присоединенных к пластине вдоль некоторых кривых

Практическую ценность представляют результаты решения ряда конкретных задач, формулы для параметров, характеризующих прочность системы «пластина. - накладка» к разрушению

Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались на Всероссийской научной конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2001 2002), на Втором международном конгрессе студентов, молодых ученых и специалистов «Молодежь и наука - третье тысячелетие» (Москва, 2002), на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященной 80-летию со дня рождения профессора Л А Толоконникова на 'II V Всероссийских конференциях-

фестивалях творчества студентов «Юность Большой Волги» (Чебоксары, 2000 -2003); на XVII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2004); на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела при Тульском государственном университете (Тула, 2005, руководитель -профессор Маркин А. А ), на семинарах кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета (Чебоксары, 2001-2005, руководитель - профессор Сильвестров В.В.),

Все приведенные в работе исследования проводились в рамках грантов Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 98-01-00308, 01-0100720, 04-01-00160).

Публикации. Основное содержание работы изложено в 20 работах, 8 из которых написаны в соавторстве с В В Сильвестровым.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 30 параграфов, заключения и списка литературы из 138 наименований. Содержит 58 рисунков и 7 таблиц Общий объем работы 196 стр.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, дан обзор литературы по затронутым вопросам, кратко изложено содержание работы. Перечислены основные предположения, сделанные при решении задач;

- пластина и накладка (или составляющие их листы в случае главы 4) являются тонкими, упругими, однородными и изотропными;

- все приложенные к пластине или накладке усилия расположены в срединной плоскости пластины и накладки и даны в расчете на единицу толщины пластины или накладки;

- пластина и накладка между собой не касаются или касаются без трения и взаимодействуют только через линию (линии) соединения;

- соединение пластины и накладки предполагается жестким, т е. на линии (линиях) соединения выполняются условия непрерывности смещений с разных сторон линии и условия равновесия точек линии;

- пространственный эффект концентрации напряжений на линии (линиях) соединения пластины и накладки и вблизи нее пренебрежимо мал; эффекты продольного изгиба пластины также пренебрежимо малы;

- система «пластина - накладка» находится в обобщенном плоском напряженном состоянии.

В первой главе рассматриваются различные варианты ремонта пластины с круговым вырезом при помощи круглой накладки, как в случае совпадающих центров выреза и накладки (концентрический случай), так и в случае, когда центры выреза и накладки находятся в разных точках (эксцентрический случай). Пластина и накладка, здесь и далее, имеют толщины, модули сдвига и коэффициента Пуассона h, ju, v н h^, /ja, v0 соответственно. На бесконечности пластины действуют заданные напряжения.

В § 1 дается механическая и математическая постановка задачи об усилении пластины S с круговым вырезом, занимающей область \z\>R, при помощи концентрической круглой накладки 50 |z|<i?0 (тг + 2 а^ Г') Таким образом, значения полярных углов вк, к = 1,4, не зависят ни от полярного радиуса г, ни от упругих и геометрических параметров пластины и накладки, а зависят только от а^Г', т.е. от действующих на оо силовых параметров Приводятся графики смещений и напряжений в пластине и накладке на линиях Ь и £0, рассматривается зависимость напряжений от геометрических и упругих параметров.

ав !а _ __ шах \ав\!а

На рис. 1 а сплошными линиями показаны деформации границ выреза Ь и накладки Ьд, а пунктирными линиями - исходные положения окружностей £ и Ьй до приложения нагрузок. На со пластаны действует нормальное напряжение сг" = а, остальные силовые параметры равны нулю На рис. 1 б для тех же нагрузок представлены графики нормального напряжения ав на границе выреза Ь. Сплошной линией показаны графики ае на границе выреза при усилении его накладкой, пунктирной линией - при отсутствии накладки. Напряжения а, и тгв на Ь равны нулю априори. Как следует из рисунка, в рассматриваемом примере наличие накладки уменьшает концентрацию напряжения егв на границе выреза в несколько раз. Расчеты проведены при следующих значениях параметров пластины и накладки: /¿ = 40МПа, ^ = 037, = 174.2МПа, у0=0.22, к = 2И0, Я0-2Я. На рис. 1 в приведены графики максимального по абсолютной величине значения растягивающего напряжения ад в пластине на границе выреза при усилении его накладкой в зависимости от отношения ц! рс0 модулей сдвига пластины и накладки. Значения остальных параметров те же самые. Линии 1 на рисунке - графики при нагружении пластины напряжением сг" = а, линии 2 - напряжением г" = а.

В отсутствие накладки тах | а9 \ на границе выреза равен За при ст" = а и равен 4о при х'„ = а. При сг' = сг максимальное значение ] сг91 достигается в точках с полярными углами в = ±л/2, а при т^-а - в точках с полярными углами

0 = ±я74 И0 = ±3я74.

В §§ 4-6 решается задача о концентрической круглой накладке па круглом вырезе в случае соединения пластины и накладки вдоль некоторой концентрической с границами накладки и выреза окружности, вообще говоря, не совпадающей с ними. В §§ 7-9 приводится решение задачи в случае соединения концентрической накладки с пластиной вдоль границы выреза и границы накладки одновре-

менао Обе задачи сводятся к решению конечных систем линейных уравнений, исследуется напряженное состояние в пластине и накладке, приводятся числовые примеры.

В § 10 рассматривается задача о ремонте бесконечной пластины S с круговым вырезом с границей I | z - z01= г при помощи эксцентрической круглой накладки S0 :\z\<Rb (R0 > r+\z01), присоединенной к пластине вдоль своей границы /0 : | z | = R0. На оо пластины и на границе выреза I действуют заданные напряжения, а на линии соединения /0 выполняются условия жесткого соединения пластины и накладки'

WX„+/r„)(0 = V(0, tel, (и + «'v)0 it) = (и +1 v), (i) = (и + iv)2 (г), t e l0, K(X„+iYn\(t) + h(JCn+iYn\(t) = KX„+iYn)1(t), tel,, где Xn и Y„ - горизонгалт.ная и вертикальная компонент вектора напряжений, действующих па касательную площадку к линии I или /0 в точке t, индексы 0, 1 и 2 соответствуют значениям того или иного параметра со стороны накладки S0, кольцевой части пластины, расположенной между окружностями I, 1й и части S2 пластины, расположенной вне окружности 10

Считаем, что в системе «пластина - накладка» реализуется обобщенное плоское напряженпое состояние, которое и требуется определить.

Для решения задачи в § 11 строится конформное отображение концентрического кругового кольца Я <| çr |< Ra (R = R$(c-z0)/(rc)) в плоскости вспомога-1ельной комплексной переменной ç на -эксцентрическое круговое кольцо \z-z0\>r, | Z |< Rq в плоскости z '

z = a>(ç)=Rt(ç + c)/(R20+cç), где постоянная с выражается через параметры z0, г, R0.

Комплексные потенциалы в новой переменной ç ищутся в виде

vî(ç) = -Qfoç + > К (О = «б in? + ' Ç"6 5Г'

где iS^ (¿ = 0,1,2) - прообразы областей Sk при конформном отображении z = а(д).

Для нахождения комплексных потенциалов имеем краевые условия

где интеграл берется по дуге окружности £ • | д |= И от точки = Я до точки д е £ против часовой стрелки, а С\ и С2 есть значения левых частей первого и третьего равенств в точках Я и Я0 соответственно

Подставляя представления комплексных потенциалов в краевые условия, задача сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов рядов Доказывается квазирегулярность полученной системы, приводится достаточное условие существования ее единственного ограниченного решения, обеспечивающее законность всех операций со степенными рядами, проведенных для решения задачи В § 12 проводится сравнение с частным случаем концентрической накладки, рассмотренным ранее в §§ 1 -3. Приводятся числовые расчеты; для приближенного решения бесконечпой системы линейных алгебраических уравнений применяется метод редукции.

В § 13 рассматривается задача о соединении эксцентрической круглой накладки с пластиной с круглым вырезом вдоль границы выреза и границы накладки одновременно. В § 14 методом степенных рядов, используя конформное отображение, введенное в § 11, задача сводится к квазирегулярной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений Дается сравнение со случаем концентрического выреза (§§ 7 - 9), приводятся числовые расчеты (§ 15)

Вторая глава посвящена изучению напряженного состояния, возникающего в бесконечной пластине S с эллиптическим вырезом с границей I х2 / а2 + у2 / Ь1 =1, усиленным конфокально расположенной эллиптической накладкой с границей /0. х7 1а\ + у7 =1 (а0 > Ь0, а0>а, а2 -Ь2 =а% = с2), под действием заданных нагрузок, приложенных на бесконечности пластины и на границе выреза, если она не является линией соединения Рассматриваются два способа соединения пластины и накладки 1) только вдоль границы накладки и 2) вдоль границы выреза и границы накладки одновременно.

В § 1 рассматривается соединение пластины с накладкой вдоль границы накладки /0, на которой, как и ранее, выполняются условия жесткого соединения

С помощью функции Жуковского г = а>