Нелинейные гиперболические уравнения и характеристические алгебры Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
профессор Хабибуллин Исмагил Талгатович; доктор физико-математических наук, профессор Голубчик Игорь Захарович.
Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук
Институт механики Уфимского научного центра РАН
Защита состоится 23 апреля 2009 года в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д-002.057.01 при Учреждении Российской академии наук Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.
диссертационного совета Д 002.057.01, кандидат физико-математических наук
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Рассмотрение наличия у уравнения бесконечной алгебры высших симметрии в качестве отличительного признака интегрируемости привело к возможности классификации интегрируемых уравнений симметрийным методом1, важный вклад в развитие которого внесла уфимская математическая школа профессора Шабата А.Б. Симметрийный подход является эффективным при исследовании уравнений эволюционного типа. При симметрийной классификации гиперболических уравнений даже в простейших ситуациях возникают серьезные технические трудности. Гиперболические уравнения занимают в теории интегрируемых уравнений особое место. С одной стороны они имеют больший прикладной интерес, чем эволюционные, а с другой - они гораздо труднее поддаются классификации и решению методом обратной задачи рассеяния.
В 1981 г. Шабатом А.Б., Ямиловым Р.И.2 был предложен новый подход к классификации, основанный на понятии характеристической алгебры Ли. Авторы показали, что для экспоненциальных систем
= expelí1 + . + ainun), i = 1,2. n
характеристическая алгебра Ли конечномерна тогда и только тогда, когда коэффициенты o¿j определяют матрицу Картана простой алгебры Ли К = ||a¿j||. Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат А.Б.3 в 1982 г. для гиперболических систем уравнений
выдвинули гипотезу о том, что условием полной интегрируемости в квадратурах этих уравнений является конечномерность алгебры Ли, связанной характеристическим уравнением
DW = 0, W = W(ux,uxx. )
'Жибер А.В., Шабат А.Б. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой Ц Доклады АН СССР. - 1979. - Т. 247. - № 5. - С. 1103-U07.
Ибрагимов Н. X., Шабат А.Б. Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Ли-Беклунда. // Функциональный анализ и его приложения. - 1980. - Т. 14. - № 1. - С. 25 - 36.
Sokolov V.V., Shabat А.В. Classification of integrable evolution equation // N.Y.: Harwood Academic Publishers. Soviet Scientific Reviews, Section C. 4. - 1984. - P. 221-280.
Михайлов A.B., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // Успехи математических наук. - 1987. - Т. 42. - № 4. -С. 3 - 53.
2Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана // Препринт Б ФАН СССР, Уфа. - 1981. - 23 с. •
3Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат А.Б. Группа внутренних симметрии и условия интегрируемости двумерных динамических систем // Теоретическая и математическая физика. - 1982. - Т. 51. - № 1. - С. 10 - 22.
(характеристической алгебры), а условием интегрируемости методом обрати ной задачи рассеяния - наличие конечномерного представления характеристической алгебры. Жибер А.В., Мукминов Ф.Х.4 в 1991 году обобщили понятие характеристической алгебры Ли для квадратичных систем уравнений
< = c)ku]vk + 4v\ vky = + d)u\ (1)
и применили ее для вычисления высших симметрии уравнений Лиувилля, синус-Гордона, Цицейки:
Uxy = ^ i Иху —• в -f* е , иху — е с
Основной результат диссертационной работы Бормисова А. А.5 является доказательство того факта, что две характеристические алгебры А, А уравнений гиперболического типа (1) естественным образом "склеиваются" в единую алгебру Ли на основе так называемых соотношений нулевой кривизны (L — A пары) для системы (1). В настоящее время понятие характеристической алгебры применяется для классификации интегрируемых дифференциально-разностных уравнений в работах Хабибуллина И.Т.6
Применение понятия характеристической алгебры Ли для классификации нелинейных гиперболических уравнений с правой частью общего вида является актуальной задачей.
Цель и задачи исследования. Работа посвящена применению подхода, основанного на исследовании структуры характеристической алгебры Ли для решения задачи классификации интегрируемых нелинейных гиперболических уравнений, а также описанию характеристической алгебры Ли уравнения синус-Гордона и алгебры высших симметрий модифицированного уравнения сииус-Гордона, доказательству критерия интегрируемости по Дарбу.
Основные методы исследования. Полученные автором результаты базируются на применении классических методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, теории ин-
11 Жибер А.В., Мукминов Ф.Х. Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры Ц Задачи математической физики и асимптотики их решений. Уфа: БНЦ УрО АН СССР. -1991. - С. 14 - 32.
5Бормисов А.А. Гиперболические системы уравнений типа Риккати и связанные с ними алгебры Ли // Дисс. . канд. физ.-мат. наук. - Стерлитамак.: СГПИ. - 2002. - 74 с.
°Хабибуллин И.Т., Пекан А. Характеристическая алгебра Ли и классификация полудискретных моделей // Теоретическая и математическая физика. - 2007. - Т. 151. - № 3. - С.413-423.
Ilabibullin I.T. Characteriatic algebras of jully discrete hyperbolic type equations // Symmetry Intcgrability Geom.: Methods Appl. - 2005. - V. 1. - Paper 023 - 9 pages.
Habibullin I.T., Zheltukhina N.f Pekcan A. Qn the classification of Darbovx integrable chaina - J. Math. Phys. - 2008. - V. 49. - № 10. (40 pages)
тегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений, а также теории алгебр Ли.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1.Исследованы характеристические алгебры Ли линейных гиперболических уравнений, которые связаны х- и ^-преобразованиями Лапласа. Показано, что последовательность инвариантов Лапласа п = 0,1. конечна только в том случае, когда размерность характеристической алгебры Ли уравнения конечномерна.
2. Приведено новое более простое доказательство критерия интегрируемости по Дарбу нелинейного гиперболического уравнения, основанное на понятии характеристической алгебры Ли.
3. Описаны нелинейные гиперболические уравнения, линеаризации которых связаны ^-преобразованием Лапласа. Приведены преобразования Бек-лунда этих уравнений.
4. Решена классификационная задача для интегрируемых уравнений Клейна-Гордона на основе их характеристической алгебры. Для уравнения синус-Гордона описана структура характеристической алгебры Ли.
5. Приведен полный список гиперболических уравнений с конечномерной характеристической алгеброй размерности 2, 3, 4. Описаны уравнения с бесконечномерной характеристической алгеброй "медленного"роста.
6. Построен локальный дифференциальный оператор, переводящий высшие симметрии в высшие симметрии меньшего порядка для модифицированного уравнения синус-Гордона, а также оператор рекурренции, определяющий алгебру симметрий этого уравнения.
7. Приведен оператор, который симметрии переводит в интегралы и обратный оператор, переводящий интегралы в симметрии для вырожденного случая модифицированного уравнения синус-Гордона.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Методы и результаты диссертации могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений в частных производных. В частности, при классификации интегрируемых уравнений, построении высших симметрий и точных решений.
Апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались:
/ на региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (Уфа, октябрь 2004 г.); / на ХЫП международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, апрель 2005 г.);
/ на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета под руководством профессоров A.B. Жи-бера и И.Т. Хабибуллина (Уфа, 2005 г., 2006 г.);
/ на VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, май 2006 г.);
/ на международной конференции «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения» (Якты-Куль, декабрь 2006 г., декабрь 2008 г.); / на 38, 39, 40-ой региональных молодежных конференциях «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, январь 2006 г., январь 2008 г., январь 2009 г.);
/ на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И.Г. Петровского (Москва, май 2007 г.); / на Уфимской международной математической конференции «Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика» памяти А.Ф. Леонтьева (Уфа, июнь 2007 г.);
/ на Школе молодых ученых Отдела математики РФФИ (Карачаевск, октябрь 2007 г.);
/ на международной конференции «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», посвященной 100-летию со дня рождения C.J1. Соболева (Новосибирск, октябрь 2008 г.); / на научном семинаре кафедры математики Уфимского государственного авиационного технического университета под руководством профессора В.А. Байкова (Уфа, декабрь 2008 г.);
/ на научном семинаре по дифференциальным уравнениям математической физики Института математики с ВЦ УНЦ РАН под руководством профессора JI.A. Калякина и профессора В.Ю. Новокшенова (Уфа, декабрь 2008 г.).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 14 работ, список которых приведен в конце автореферата. Статьи [4], [5], [6], [10] опубликованы в рецензируемых журналах из списка ВАК. Из совместных работ в диссертацию включены результаты полученные лично автором.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы. Все теоремы, леммы, замечания и формулы занумерованы двумя цифрами, первая из которых означает номер параграфа, а вторая - номер по порядку. Полный объем диссертации - 147 страницы. Библиография содержит 60 наименований.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, изложен классический метод точного интегрирования линейных гиперболических уравнений
второго порядка (каскадный метод Лапласа), приведено краткое содержание работы по главам и параграфам, проведен краткий обзор литературы.
В первой главе приведено новое более простое доказательство критерия интегрируемости по Дарбу7
Введем понятие характеристической алгебры Ли линейного уравнения
Обозначим через пространство локально-аналитических функций, зависящих от конечного числа переменных х, у, у, VI = ьх, ь2 = ухх, . На этом классе функций оператор полного дифференцирования по у Б в силу уравнения (2) задается формулой
9 _ д , . 8 ч д = "5- + «1а--(аи1 + + С")---и(аУ1 + Ы)1 + си)---. -
дщ+i Здесь щ = уу,
П 9 f г- л 9 9 9
(av1 + bvi + cv)-—r + ui— + v2— + . ox dvi av avi
Так как коэффициенты оператора D линейно зависят от переменной Щ, то
(av 1 + cv)— - (D(avi + си) - b(avx + со)) --.
DW(x, у, v,vu. vm) = 0 (4)
согласно (3) эквивалентно системе
7Жибер A.B., Соколов B.B. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа //
УМН. - 2001. - Т. 56. - № 1(337). - С. 63-106.
С уравнениями (5) естественным образом связана алгебра Ли, порожденная векторными полями Х\ и Хч- Эту алгебру А будем называть характеристической алгеброй Ли уравнения (2).'
hi - 2hi-i - /i¿_2 - ^^ ln/i¿_i, i e Z, (6)
где /i0, /t-г инварианты уравнения (2)
ho — тг + ab — с, /i_x = — + ab — с. ох оу
Алгебра Ли i уравнения
полученного ^-преобразованием Лапласа уравнения (2)
порождается векторными полями
— - (a_ipi + c-ip)---(í>(a_ipi + c-ip) - b(a-ipi + c_ip)) ---
9 , д n2 , . д др-Ь
Ь-1х)дР2 + -' Р = Лемма 1.1. Пусть характеристическая алгебра Ли А уравнения (2) конечномерна, т.е. dim.A = п. Тогда размерность характеристической алгебры Ли Л_1 уравнения (7) dimA-j = п — 1.
Основным результатом первого параграфа является следующее утверждение.
Теорема 1.1. Последовательность /г_п, п = 1,2. конечна, если и только если размерность характеристической алгебры dimA < оо.
Доказательство теоремы 1.1 основано на утверждении леммы 1.1. Во втором параграфе рассматривается нелинейное гиперболическое уравнение вида
Определение 0.2. Уравнение (8) называется интегрируемым по ДарбгД если существуют функции ш, ш, зависящие от конечного числа переменных
х, у, и, щ = их, и2 = ихх, и3 = иххх. , .
Щ = Uy,Ü2 - Uyy,Uз = ит.
такие, что на решениях уравнения (8) функция ш не зависит от переменной у, а функция ш - от X.
Поскольку определение преобразований и инвариантов Лапласа для линейного уравнения (2) являются чисто алгебраическими и используют только тот факт, что операторы частных производных являются коммутирующими дифференцированиями, они непосредственно обобщаются на случай линеаризованного уравнения
где дифференцирования D и D записанные как векторные поля, они имеют вид
Главные инварианты уравнения (10) имеют вид
Н0 = -D + fu¡hx + /„, Я_! - -D + fuJUl + /и,
а высшие инварианты определяются по формулам (см. (6))
DD (In Hi) = -Hi+1 - Hi—i + 2Hu i EZ.
Справедливо следующее утверждение. Теорема 2.2. Нелинейное уравнение (8) интегрируемо по Дарбу тогда и только тогда, когда последовательность инвариантов Лапласа Нп,п = О, ±1, ±2. линеаризованного уравнения (10) обрывается с двух сторон.
В третьем параграфе рассматривается задача об описании нелинейных уравнений
8Darboux G. Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitesimal. - Paris: Gauthier-ViUars. - 1896.
V. 1 - 4. - 513 c., 579 c., 512 c., 547 c.
Anderson I.M., Juras M. Generalized Laplace invariants and the method of Darboux // Duke Math. J. - 1997. - V. 89. - № 2. - P. 351 - 375.
линеаризации которых связаны ^-преобразованием Лапласа. Линеаризация второго нелинейного уравнения (11) имеет вид
Теорема 3.1. Пусть линеаризованные уравнения (10), (12) связаны х-преобразованием Лапласа. Тогда уравнения (11) преобразуются к одному из следующих видов
Преобразования Беклунда, связывающие уравнения (13) - (17) задаются следующими формулами
Вторая глава посвящена классификации интегрируемых нелинейных уравнений
со специальными правыми частями f(u), f(u,ux), f(ux,uy), основанная на исследовании структуры характеристической алгебры Ли. Для уравнения синус-Гордона построен базис характеристической алгебры. Определение 0.3. Функция F = F(u, щ, щ, и2, щ. ,ип, йп) называется симметрией уравнения (8) если она удовлетворяет определяющему уравнению
DDF = ^-DF + ^-DF + ^-F. (19)
Исследование классификационной задачи основано на следующем утверждении:
Лемма 4.1. Пусть и-решение уравнения (18) и векторные поля 2 и Z имеют вид
Если [Б, — 0 и [/?, 2] = 0, то I? = 0 и 2 = 0 соответственно.
В четвертом параграфе проведена классификация уравнений Клейна-Гордона
Вычисление высших симметрий Ли-Беклунда уравнения (20) основано на исследовании характеристических уравнений9
Злу = о, бШ = о. (21)
где функции й'ий' зависят от конечного числа переменных (9).
Первое соотношение (21) для уравнения (20) перепишем так: 5иг - +^+• • •) ^=+
которое эквивалентно системе
С уравнениями (22) естественным образом связана алгебра Ли, порожденная векторными полями Х\, Х2
Пусть Ьп - линейное пространство коммутаторов образующих длины п— 1, п — 2,3,____Например, Ь2 - линейная оболочка векторных полей Х\, Х2, а
'Лезноз А.Н., Смирнов В.Г., Шабат A.B. Группа внутренних симметрии и условил интегрируемости двумерных динамических систем // Теоретическая и математическая физика. - 1982. - Т. 51. - № 1. - С.
Жибер A.B. Квазилинейные гиперболические уравнения с бесконечной алгеброй симметрий // Изв. РАН. Сер. матем. - 1994. - Т. 58. - № 4. - С. 33 - 54.
Жибер A.B., Гурьева А.М. О характеристическом уравнении квазилинейной гиперболической системы уравнений // Вестник УГАТУ. - 2005. - Т. 6. - № 2(13). - С. 26 - 34.
Ьз порождается элементом Хз=[Хг, Х2], - коммутаторами Х4ЦХ2, Хз], Х5=[ХЬ Хз] и т.д. Тогда ^-характеристическая алгебра Ли А представима в виде
Аналогично вводится у-характеристическая алгебра Ли А уравнения (20)
Ограничение на порядок роста размерности пространств £п = а
именно не более чем на единицу, по крайней мере на первых шагах (п < 6), полностью определяет правую часть уравнения (20) (леммы 4.2 - 4.4). При этом полученный список уравнений совпадает с известным списком интегрируемых уравнений10:
iiXy — е , У'ху — е -Ь е , иХу — е -j- е
В пятом параграфе для уравнения синус-Гордона
описана структура ж—характеристической алгебры Ли. Введем кратные коммутаторы следующего специального вида
Xtl. in = adu . adfn lXin, ad¡Y = [Xj,Y],
Тогда линейное пространство £п есть линейная оболочка элементов где ú = 1,2, к — 1. ,п.
Теорема 5.1. Для уравнения синус-Гордона (24) справедливы равенства
г [2, при п = 2к dlm¿" = (l )При п = =
при этом линейное пространство Ь2к-1 порождается векторным полем Х1. 121, a L2k
полями Х1. 121 и Х2\. ш- Операторы
Х\, Х2, X2i, I3, Y4, Y5l Z5, У6, Y¡, Z. Y2n, У2П+1, ^2n+i, • ■ ■,
Уп = Xi^, i\ = . — in-2 - in = 1, i„_ 1 = 2,
Zn = X^.-ú, ¿2 = . = in-2 = in = 1, ii= in-i = 2
10Жибер A.B., Шабат A.B. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой // Доклады АН СССР. - 1979. - Т. 247. - № 5. - С. 1103-1107.
образуют базис характеристической алгебры. В параграфе 6 рассматривается уравнение
х- характеристическая алгебра Ли которого порождена образующими (23), а ту-характеристическая алгебра - полями
Показано, что уравнение (25) с у—характеристической алгеброй А размерности два принимает вид
Если dim .А — 3, то уравнение (25) приводится к одному из следующих
иху — А(их), А!—j — A, A — const,
при У4 = Му1 - П = 0;
иху = e-^l + ul при У4 = -ji(Yi - uxYi), У5 = Ci(Yi - uxY3), c\ - const ф 0;
uxy = s(u)ux + ¡3, ¡3 - const ф 0,
при У4 = 0, У5 = 0;
а с x—характеристической алгеброй А размерности два -иху = A(ux)eku, k — const, k ф 0. Введем следующие обозначения:
Y6 = lYhY5], Y7 = [Y2,Y5], Y8 = [Y3,Y5], Y9 = \YuYe], Y10 = [Y2,Y6].
Теорема 6.1. Пусть dim£j = i,i = 2,3,4,5,6 тогда уравнение (25) приводится к виду
иху = s(u)A(ux), s" = 0, А' = 2А2
При этом операторы ^4,^6)^8*^10 принимают вид
П = ^(Я-г1,Уз), У6 = -2А2^У5,
Y? + Ys. Уравнение (26) при A ^ О сводится к следующему:
иху = s(u)R(ux), s" = 0, (их- R)(R + 2ux)2 = 1. (27)
С точностью до сдвигов имеется два различных случая:
s = 3и и s = 1. В первом случае уравнение (27) связано с уравнением Цицейки
и — —j 1п(их — Д). (28)
Во втором случае является уравнением лиувиллевского типа и сводится подстановкой (28) к волновому уравнению vxy — 0.
либо иху = s(u)A(ux), (29)
где s" + сзs' + eis = 0, А' - а-
= A, Ci, сз, а, А - const;
либо иху = А(и)их + В(и), где А" + с3А' + cjA = 0, В" + с3В' + ciB = 0,
— Ф const, С\, Сз — const.
Например, при сз = А = 0 уравнение (29) имеет вид
иху — s(u)a/1 + и\, cis + s" = 0, с\ — const. (30)
С точностью до сдвигов и растяжений в (30) имеется три различных решения этого уравнения:
s = sinw, s = u и s = l.
В первом случае уравнение (30) связано с уравнением синус-Гордона дифференциальной подстановкой v — aresin их + и, во втором - подстановкой у = aresin их. В третьем случае (30) является уравнением лиувиллевского типа и сводится подстановкой v = aresin их к волновому уравнению vxy = 0.
А также описаны уравнения (25) с ж— и у—характеристическими алгебрами Ли при dim £i = i, dim £j = j, i = 2. 6, j — 2,3,4. В седьмом параграфе рассматривается уравнение
характеристическая алгебра Ли которого порождена образующими:
Показано, что уравнение (31) с ж—характеристической алгеброй размерности два принимает вид
иху — аВ(иу), В' — Ц — Р, а, /3 — const] иху = А(их)(аиу +1), а — const.
Теорема 7.1. Если размерность пространств равна i, а пространств £j равна j, i,j — 3,4, то уравнение (31) принимает вид
иху = A(ux)s(uy), = s' - ^ - А2,
Ai — const, i = 1, 2.
При этом Х4 = -^(Хг — иуХз), У4 = ¿(Yi - uxY3).
В восьмом и девятом параграфах главы 3 перечислены уравнения (18) с конечномерной характеристической алгеброй Ли размерности 2, 3, 4, а также уравнения, для которых выполнены условия п < dim.£n < п + 1, т < dim£m<m+l, п,т
Уравнение (18) с характеристической алгеброй Ли А размерности два приводится к виду
Получен полный список уравнений (18) с характеристической алгеброй размерности три (лемма 8.2). Приведем одно уравнение из этого списка
Теорема 9.1. Размерность пространства £i, порожденного операторами длины, 1, 2 и 3, равна четырем тогда и только тогда, когда
Xi + c^Xi - uyXz) + с2Х5 = 0
и выполняется одно из следующих соотношений для правой части уравнения (18): либо
с(их J %tduy + б), ¡5», + ^ = л, В = В(и,их), с = с(и, Uy),
где ci = С2 — 0, 5, А — const, с
либо функция f удовлетворяет соотношениям
/и "Ь /«,/uj, Uyfuuv f fnt-uv
cfuyUy — 0, Dic) - c/u„ - K/u + //uj =0, с = c(u, Uy),
где ci = 0, c2 — c2 ф 0.
Рассматривая ^-характеристическую алгебру Ли, получим "симметричный" вариант (теорема 9.2.).
При выполнении условия (32) и аналогичного условия из симметричной теоремы 9.2 уравнение (18) приводится к виду:
uxy = K(u)L(ux)B(uy), V + >7 = A, 54i(j)=A, (34)
где А, \,г),8 — const (лемма 9.1).
Если размерность характеристической алгебры А равна четырем, то функция К уравнения (34) удовлетворяет соотношению (лемма 9.2)
— I = кК , к — const.
Пусть dim £5 = 5. Если dim £5 = 6, то уравнение (34) точечной заменой приводится к виду
иху - К(и)Ь(ихуВ(иу), К" - 2KIC - 4К3 = 0, (их -L)(L + 2их)2 = 1, (иу -В)