Сила тяготения. Задачи второго уровня.
Всем доброго времени суток! Сегодня на повестке дня задачи на отыскание силы тяготения, скоростей, ускорений и весов тел на различных высотах и на разных планетах: словом, все, что связано с законом всемирного тяготения!
Поскольку задач много, а времени – мало (как обычно), то хочется разобрать не самые простые задачи. Надеюсь, данная подборка задач будет вам интересна, потому что решений этих задач я не нашла в Интернете – и по этой же причине не хочу рассматривать совсем простые задачи, решения которых в сети легко отыскать.
Задача 1. Два одинаковых однородных шара, соприкасаясь, притягивают друг друга с силой $F$. Как изменится сила, если увеличить массу каждого шара в $n$ раз? Плотность шаров не изменяется.
Сила тяготения равна $F=G$ – поэтому неплохо бы узнать радиус шариков. Вспомним формулу объема шара: $V=\frac \pi r^3$, откуда $ r^3=\frac $, то есть $$r=\sqrt[3]< \frac >$$
Масса и объем связаны плотностью вещества:
То есть сила тяготения равна
Если масса шаров изменится в $n$ раз при той же плотности, то это означает, что изменятся их радиусы, так как зависимость объема от радиуса шара – прямая:
Сила тоже изменится:
Найдем теперь отношение сил:
Задача 2. Две точечные массы $m_1$ и $m_2$ расположены на расстоянии $l$ друг от друга. Где следует расположить точечную массу $M$, чтобы сила гравитационного воздействия на нее со стороны масс $m_1$ и $m_2$ равнялась $0$?
Так как силы в данном случае направлены от первого тела $m_1$ к телу $M$ (вправо) и от второго тела $m_2$ к телу $M$ (влево), то есть такое положение массы $M$, что эти силы станут равны и друг друга скомпенсируют. Тогда можем записать:
Задача 3. Два шарика массами $m_1=m_2=\frac$, соединенные стержнем пренебрежимо малой массы, образуют гантель. Расстояние между центрами шариков $l$. Найти силу, действующую на гантель в поле тяжести точечной массы $M$, находящейся на расстоянии $r$ от середины гантели. $r\perp l$. Исследовать полученные выражения для силы при $r<<l$, $r>>l$, при каком $r$ она максимальна и чему будет равна.
Запишем расстояние от каждого из шариков до точечной массы $M$:
Тогда силы взаимного притяжения каждого из шариков и массы М такие:
Эти силы можно разложить каждую на два составляющих вектора – на вектора, направленные от одного шарика к другому, вдоль гантели (вследствие равенства по длине и противоположного направления они компенсируют друг друга), и перпендикулярные к гантели. Эти две составляющие сонаправлены, поэтому именно их сумма определяет силу взаимодействия.
Определим эти составляющие сил:
Так как эти силы равны, и направлены в одну сторону, сложим их:
При условии $r<<l$ пренебрежем величиной $r$ в знаменателе, тогда
При условии $r>>l$ пренебрежем величиной $r$ в знаменателе, тогда
Задача 4. Три материальные точки массами $m_1=6,4$ кг, $m_2=12,5$ кг, $m_3=10$ кг находятся в точках с радиус-векторами $\vec=2\vec+\vec$, $\vec=-\vec-7\vec$, $\vec=2\vec-3\vec$. Найти гравитационную силу, действующую на частицу, имеющую массу $m_3$, со стороны частиц с массами $m_1$ и $m_2$.
Рассмотрим рисунок. Из него видно, что сила, которую мы ищем – это равнодействующая сил $F_1$ и $F_2$ (изображена красным вектором). Найти ее можно как векторную сумму сил $F_1$ и $F_2$.
Взаимное влияние точек
Для определения сил тяготения между массами нам понадобится знать расстояния между ними. Определим их, зная радиус-векторы точечных масс, так же, как определяют длину отрезка по координатам его концов. Тогда
Модуль силы $F_1$ равен:
Модуль силы $F_2$ равен:
Сила $F_1$ направлена вдоль оси $j$ – так как тела $m_1$ и $m_3$ лежат на одной вертикали:
Силу $F_2$ возможно разложить на две составляющие, направленные по осям. Разложим силу $F_2$:
Равнодействующая тогда будет равна:
Определим $\cos$ и $\sin$: так как $\vec=-3\vec-4\vec$, следовательно,
$$\vec=G(4\vec-3\vec-4\vec)=-3G\vec=-3\cdot6,67\cdot10^\vec$$
Задача 5. С какой силой притягивается к центру земли тело массой $m$, находящееся в глубокой шахте, если расстояние от него до центра земли равно $r$? Плотность земли считать постоянной и равной $\rho$.
Здесь надо понимать, что тело будет притягиваться только той частью массы планеты, которая находится «под» ним. Силы, с которыми тело будет притягивать та часть планеты, что «выше» тела, будут компенсированы силами, с которыми тело будет притягивать та часть планеты, которая «выше» тела, но в противоположном полушарии (на рисунке зеленым и красным цветами показаны силы, которые компенсируют друг друга).
Здесь $M$ – «внутренняя часть» планеты, та, что «под» телом.
Задача 6. Определить максимальную скорость камня, брошенного без начальной скорости в прямой тоннель, прорытый через центр Земли с одной стороны на другую. Вращение Земли не учитывать.
Камень будет лететь равноускоренно, по крайней мере, до центра. Но, так как полет будет все время сокращать расстояние между камнем и центром планеты, то ускорение свободного падения будет все время уменьшаться, пока не станет равным нулю в середине тоннеля. Поэтому для расчета возьмем среднее ускорение: $\frac$.
Тогда расстояние, которое камень пролетит до центра, равно радиусу Земли – 6400 км.
Скорость при равноускоренном движении без начальной скорости:
Таким образом, скорость, которую приобретет камень, будет равна первой космической скорости, или 8000 м/c$^2$.
Задача 7. Две звезды вращаются вокруг общего центра масс с периодом $T$ и постоянными по модулю скоростями $\upsilon_1$ и $\upsilon_2$. Найти массы звезд и расстояние между ними.
Так как звезды вращаются вокруг одного центра, не обгоняя друг друга, следовательно, у них одна и та же угловая скорость вращения: $\omega_1=\omega_2$, и, очевидно, один и тот же период обращения: $T_1=T_2$. Период – время прохождения одного круга. Первая звезда проходит круг длиной $2\pi r_1$, а вторая – $2\pi r_2$, то есть скорость первой – $\upsilon_1=\frac$, скорость второй – $\upsilon_2=\frac$. Ну а расстояния звезд от центра вращения – $r_1=\frac $, $r_2=\frac $. Сумма расстояний – это как раз расстояние между звездами:
Чтобы найти массы звезд, используем силу тяготения между ними. Раз система в равновесии, значит, сила тяготения равна центробежной силе. Сила тяготения между звездами:
Центростремительное ускорение для первой звезды:
Приравниваем силу тяготения и центробежную:
Сокращаем $m_1$ и «вытаскиваем» массу $m_2$:
Аналогично, приравнивая центробежную силу для звезды массой $m_2$ и силу тяготения, получим:
Сокращаем $m_2$ и «вытаскиваем» массу $m_1$:
Задача 8. Определить силу натяжения троса, связывающего два спутника массой $m$ каждый, которые обращаются вокруг Земли на расстояниях $R_1$ и $R_2$ так, что трос всегда направлен радиально. Масса Земли $M$.
Силой тяготения между спутниками пренебрежем. Следовательно, на каждый из них действует сила тяготения земли, сила натяжения троса и центробежная сила. Так как канат всегда направлен радиально (по радиусу), то у спутников одна и та же угловая скорость: $\omega_1=\omega_2$.
Центростремительное ускорение первого спутника: $a_1=\frac$, второго спутника $a_2=\frac$.
Центробежная сила, действующая на первый спутник: $F_1=\frac$, на второй спутник: $F_2=\frac$.
Уравнение по второму закону Ньютона для первого спутника:
Уравнение по второму закону Ньютона для второго спутника:
Здесь $F_$ и $F_$ – силы тяготения между спутниками и Землей: