Элементы абстрактной алгебры. Часть III. Преобразования и перестановки. ⁠ ⁠

Гутен таг, Пикабу (а кому-то морген или абенд). Мы почти подошли к центральной теме первого цикла - группе. Но прежде нам нужно порезать кое-какие сорняки.

Внимание: если не усвоены первые два поста, то лучше даже не читать - себе дороже.

Преобразования множеств

Как вы помните из второй части, мы рассматриваем только конечные множества, то есть множества с конечным числом элементов.

Эта тема является центральной, поэтому крайне важно её усвоить.

Мы уже знаем четыре типа отображений: инъекцию, сюръекцию, биекцию и "все другие". Первые два требуют выполнения определённого неравенства для мощностей множеств, между которыми установлено отображение. Третья же совсем строгая: она требует точное равенство мощностей. Мораль такова, что отображаемые и результрующие множества могут быть какими угодно.

В математике важную роль играет отображение множества в себя. Например, инъекция в себя, сюръекция на себя, биекция на себя, всё прочее в себя. Всё это примеры преобразований множества.

Определение. Преобразованием множества A называется любое отображение множества A в себя.

В школьной геометрии (в 9-м классе, если не вру) говорят о движениях плоскости. Это такие преобразования плоскости, которые сохраняют расстояния между точками. Самый тривиальный пример - параллельный перенос. Теперь вы понимаете, почему это преобразование плоскости.

Упражнение 1. Придумать 2 примера преобразований для следующих множеств: всех когда-либо живших людей, натуральных чисел, векторов в пространстве.

Перестановки

Пусть у нас есть три книги, которые мы раскладываем на столе

В данном случае мы имеем конкретную конфигурацию, конкретную последовательность книг, конкретную их перестановку. Давайте поменяем последнюю и среднюю местами

У нас снова получилась какая-то перестановка, но уже иной конфигурации.

Определение. Перестановкой называется способ расположить данное множество предметов в ряд.

Путём комбинаторных рассуждений можно установить, что всего различных перестановок этих книг существует 3! (читается "три факториал"), то есть 6.

Упражнение 2. Найдите все эти перестановки.

Подстановки

А что мы сделали между 1 и 2 картинками? Какой-то человек пришёл и перемешал книги. Путём каких-то действий мы перешли от одной перестановки к другой. В чём сущность этой операции? Обозначим её как f.

1) Она перевела 3 наших книги в 3 наших книги.

Но это уже знакомое нам отображение! Более того, это преобразование множества книг. Более того, это биективное преобразование! И вот такие преобразования, то есть биективные, ввиду их важности, получили отдельные названия, связанные с очевидными наглядными образами.

Определение. Подстановкой называется любое биективное преобразование.

Легко видеть, что подстановка переводит одну перестановку в другую. Вот и всё тут.

Удобно записывать подстановку так.

Пусть у нас множество A состоит из n элементов и пусть мы действуем на него подстановкой f, которая элемент a с индексом i переводит в элемент b с индексом i. Тогда

Верхняя строчка - это элементы из области определения отображения. А под каждым элементом (во второй строчке) сидит соответствующий ему образ при отображении f.

Упражнение 3. Записать подстановку из примеров с книгами в данном виде.

Важные виды преобразований

Договоримся записывать все преобразования в форме той таблички: это крайне удобно.

Подстановки - это частный случай преобразований множеств. Сразу выделим три вида преобразований, которые будут нам очень важны в последующих постах.

1) Собственно подстановки. Это биективные преобразования множества -- переводят перестановку в перестановку.

2) Особая подстановка - стационарное преобразование ε. Оно оставляет на месте все элементы, переводит некоторую перестановку в себя же (отсюда и такое название "стационарное"). Вот его таблица, которой оно полностью и задаётся

3) Постоянное преобразование δ(x). Это преобразование, которое переводит все элементы некоторого множества в какой-то один элемент этого же множества. В скобках указан собственно элемент-образ. Вот таблица

Особая роль всех этих преобразований станет прозрачной чуть далее.

Упражнение 4. Придумать по три примера на каждое преобразование из данного списка. Подействуйте ими на соответствующие множества.

Общий взгляд

Что мы должны усвоить? Пусть есть некоторое множество A с n(A) = n. Оно состоит из каких-то элементов, от природы которых мы отвлекаемся. Но это множество естественно, само собой индуцирует другое множество L - множество перестановок. Мы как бы гуляем сначала по множеству A, а потом находим внутри этого множества дверь в другое множество, естественно с ним связанное -- множество L. В первом множестве могут быть самые разнообразные жители: книги на моём столе, мои девушки за всю жизнь (напоминаю, что их не было -- помогите, пожалуйста; я умею готовить пельмени и стирать носки), деревья в саду бабушки. Во втором же множестве живут жители совсем другого типа - это отображения множества A в себя. Там мы встретим стационарное преобразование, постоянное преобразование, подстановки и другую экзотику. Мы их можем включать (подействовать ими на множество A или его конкретные элементы). Тогда с элементами множества A начнут происходить метаморфозы - результат действия преобразования.

Короче говоря, за спиной любого множества A существует прилипшее к нему множество L преобразований.

6.6K постов 71.9K подписчика

ВНИМАНИЕ! В связи с новой волной пандемии и шумом вокруг вакцинации агрессивные антивакцинаторы банятся без предупреждения, а их особенно мракобесные комментарии — скрываются.

Основные условия публикации

- Посты должны иметь отношение к науке, актуальным открытиям или жизни научного сообщества и содержать ссылки на авторитетный источник.

- Посты должны по возможности избегать кликбейта и броских фраз, вводящих в заблуждение.

- Научные статьи должны сопровождаться описанием исследования, доступным на популярном уровне. Слишком профессиональный материал может быть отклонён.

- Видеоматериалы должны иметь описание.

- Названия должны отражать суть исследования.

- Если пост содержит материал, оригинал которого написан или снят на иностранном языке, русская версия должна содержать все основные положения.

Не принимаются к публикации

- Точные или урезанные копии журнальных и газетных статей. Посты о последних достижениях науки должны содержать ваш разъясняющий комментарий или представлять обзоры нескольких статей.

- Юмористические посты, представляющие также точные и урезанные копии из популярных источников, цитаты сборников. Научный юмор приветствуется, но должен публиковаться большими порциями, а не набивать рейтинг единичными цитатами огромного сборника.

- Посты с вопросами околонаучного, но базового уровня, просьбы о помощи в решении задач и проведении исследований отправляются в общую ленту. По возможности модерация сообщества даст свой ответ.

Наказывается баном

- Оскорбления, выраженные лично пользователю или категории пользователей.

- Попытки использовать сообщество для рекламы.

- Многократные попытки публикации материалов, не удовлетворяющих правилам.

- Нарушение правил сайта в целом.

Окончательное решение по соответствию поста или комментария правилам принимается модерацией сообщества. Просьбы о разбане и жалобы на модерацию принимает администратор сообщества. Жалобы на администратора принимает @SupportComunity и общество пикабу.

Так, никто не прочитал призыв автора о помощи, что-ли?

По серии: лично у меня пока нет вопросов, жду продолжение. Стал замечать, что перестал понимать математику, которая попадается в научно-популярных статьях и в википедии. Поправьте меня, если ошибаюсь: в математике сейчас все, по-тихонечку, стали переходить на "язык" теории групп?

@SalkeyNet ваш пост про сознание отклонён. Волюнтаристски определено, что для сообщества он не подходит, ибо по сути вы сами дошли до начал такой ветви психологии как бихевиоризм. Научного по теме подсказать не могу, но почитайте Пелевинский SNUFF, думаю там вы найдёте дальнейшую пищу для размышлений в этом направлении.

Удивился, просмотрел в яндексе по запросу. Два разных определения преобразования

множества: одни говорят, что отображение в себя, другие -- на себя. Хорошо, что это всё от меня давно далеко.

А то ведь можно спорить до мордобоя: а переходит в 2а будет преобразованием множества натуральных чисел или нет.

Может, кто хочет задачек посложнее? Если да, то пишите в комменты. Я их сюда добавлю.

Манифест экономической борьбы. 06.07.2022⁠ ⁠

Читая комментарии, я всё больше прихожу к выводу о том, что пришло время для борьбы. И, будучи популяризатором экономических знаний, я предлагаю бороться за свои права экономическими методами. Всё необходимое для этого у нас есть. У всех нас, включая "простой народ". У нас есть наши деньги. У нас есть наши навыки. У нас есть наше время. Это - наше оружие. И нам всем просто необходимо применить его для достижения более высокого уровня жизни.

1. Борьба с необоснованно завышенными ценами

Некоторые сектора рынка откровенно "потеряли берега". Например, продавцы новых автомобилей. Машина, которая стоит в Китае условный миллион, у нас стоит три. Это ненормально. Нормально - когда в стране происхождения изделие стоит единицу, а в стране - импортёре от 1,25 до 1,5.

Способ борьбы: НЕ ПОКУПАТЬ.

Необходим автомобиль - можно купить подержанный.

Необходимо жильё - можно посмотреть вторичный рынок, можно купить землю и построить дом, можно в конце концов квартиру снять.

Подорожала гречка - на некоторое время можно перейти на рис.

Большинство товаров имею субституты (замены).

Да, я понимаю, что по некоторым товарным группам замена невозможна. Детское питание, запчасти к уже имеющемуся автомобилю. Но там, где замена есть - необходимо реализовывать своё естественное право - не покупать.

Желаемый результат борьбы: Снижение цен. Падение спроса приводит к снижению цен. Рано или поздно. Или к закрытию предприятий, которые установили необоснованные цены.

2. Борьба с рабскими условиями труда

Когда я вижу скриншоты с сайтов вакансий с занятостью на полный день и зарплатами, которых не хватит даже на простую еду, у меня возникает острое чувство несправедливости. Таких компенсаций за труд быть не должно. По моему мнению, зарплаты менее 30К в месяц в принципе не имеют права на существование. И с этим надо бороться.

Способ борьбы №1: НЕ РАБОТАТЬ ЗА КОПЕЙКИ

Человек - существо очень инертное. Крайне сложно сделать движение, и поменять плохую работу. Очень часто хорошей работы нет в регионе проживания. Тогда надо менять регион. Совершенно не обязательно на Москву или СПб. Есть масса других мест, где вполне нормальные зарплаты. Например, Екатеринбург. Если по Вашей специальности в принципе низкие зарплаты - меняйте специальность. Выход есть всегда. Не бойтесь увольнятся. Работа в стране есть.

Я прекрасно понимаю, что бывают жизненные ситуации, когда на самом деле невозможно поменять регион (болеют родители, есть ограничения по здоровью). В этом случае есть

Способ борьбы №2: САМОЗАНЯТОСТЬ.

Пошаговая инструкция, как стать самозанятым, и не попасть в неприятности.

1. Текущую работу НЕ бросаем.

2. Вспоминаем, что умеем делать, кроме работы. Например, вязать игрушки, паять детали, делать витражи, переводить с английского, клеить обои, ремонтировать унитаз, гулять с чужими собаками, и т.д. Если ничего не умеем - смотрим, что популярно в Яндекс - услугах, и идем учиться это делать. Курсы существуют практически по любому направлению.

3. Заводим карточку Мир, регистрируемся как самозанятый. Это бесплатно. Если нет выручки - нет и налогов.

4. Вывешиваем на Яндекс - услугах и на местных пабликах, что умеем делать (см. п.2)

5. Принимаем заказы на то, что умеем, ТОЛЬКО НА ВЫХОДНЫЕ ИЛИ НА ВЕЧЕРА. (на свободное от основной работы время), и делаем это, получая оплату на карту Мир. Профиты: выручка и уважение государства за уплату налогов. Налогов платим 4% если заказчик физлицо, и 6% - если заказчик юрлицо. Кстати, самозанятость засчитывается в трудовой стаж.

6. ВНИМАНИЕ. Самозанятость не имеет отношение к работе по найму. Вы можете трудиться, где обычно и как обычно, и быть при этом ещё и самозанятым.

7. По прошествии НЕ МЕНЕЕ ПОЛУГОДА смотрим - удалось заработать больше, чем ЗП на основном месте работы или нет? Если да - бросаем работу, и принимаем заказы на все дни недели - работаем на себя. Если нет - меняем вид деятельности в качестве самозанятого, и повторяем процедуру еще раз.

Даже если доход от собственного дела составит 20 - 30% от ЗП на основном месте работы, Ваше настроение сильно улучшится, т.к. Вы поймете, что можете ДЕЛАТЬ ДЕЛО САМИ.

Желаемый результат борьбы: достойная оплата труда.

3. Борьба с хамством, обманом и низким качеством

Очень часто и чиновники, и мелкие буржуа, не выполняют условия социального контракта. Необходимо постоянно напоминать им о том, что не народ существует для них, а они существуют для народа и на деньги народа.

Способ борьбы: ЖАЛУЙТЕСЬ

Это правда работает.

Очередь на единственной кассе в супермаркете? Позвоните по телефону директора магазина. Он во всех магазинах есть. Вопрос будет решён.

Продали некачественный товар. Требуйте возврата. Не принимают? Письмо в роспотребнадзор. Или в местную торговую инспекцию.

Водятел паркуется на газоне? Отправляйте фото в ГИБДД. Каждый раз. Водятел получит письма счастья.

Заставляют работать сверхурочно? Пишите в трудовую инспекцию. Только письмо должно быть коллективным. Одного человека сожрут. Коллектив - нет.

Не ремонтируют дом? Пишите жалобу на госуслуги. Дожидайтесь отписки. А потом - отписку в три адреса: губернатору, в прокуратуру и в администрацию президента.

И не надо говорить, что всё это бесполезно. Полезно. Чиновники получают премии за устранение недостатков. А мы - мало пишем. Жалуемся друг другу на Пикабу. Это тоже помогает. Но официальное обращение зачастую работает быстрее и лучше.

Желаемый результат борьбы: снижение уровня хамства, повышение качества товаров и услуг.

Резюме: Если вышеизложенный Манифест экономической борьбы будет принят массами, поверьте, мы станем жить лучше. Я свою борьбу уже начал. Присоединяйтесь!

Продолжение поста «Всем привет, мне 13 лет и я занимаюсь резьбой по дереву, хотелось бы поделиться своим творчеством»⁠ ⁠

В очередной раз хочу поделиться своим творчеством, правда мне уже 14)

Маска лилит из Евангелиона

еще одна маска, вырезал за 2-4 часа для урока технологии, к сожалению фото где она окрашена не нашлось, но оно у меня на аве

Еще больше идолов

и маленькая фигурка крипера из майнкрафта

Материал липа, из инструментов различные ножи и стамески, покрываю морилкой

В планах вырезать лицо евы-01 на доске а4, сделаю пост когда-нибудь

Немного доброты⁠ ⁠

Про "ждулей" и отсутстствие мозгов⁠ ⁠

Есть у меня родственница. Троюродная сестра. Живет за 200 верст, иногда пересекаемся на общих праздниках у родни, но чаще дежурные поздравлялки в соцсетях, без особого общения. Ума невеликого, но красивая. 28 лет, мужа нет, зато две дочки, 9 и 11 лет. Иногда сходится с кем-то на год-другой, но безуспешно. Благо после второго ребёнка видимо предохраняться научилась.

И вот снова пересекаемся на юбилее у родственника. Тут она вываливает на меня очередную радость - скоро у нее свадьба. очередная. И кто же избранник?

Мать-мать-мать. Слов немного, всего лишь пяток, но какие из них комбинации. Я, как сотрудник полиции, прекрасно осознаю что это за контингент.

- Да оговорили его, три с половиной года получил, скоро выйдет, хочет завязать.

- Да. какая разница, его же оговорили. Я к нему на свидание дважды ездила, он хороший.

С трудом вытряхиваю из нее ФИО и место заключения. В наглую пользуюсь служебным положением и к концу застолья получаю расклад.

УК РФ Статья 134. Половое сношение и иные действия сексуального характера с лицом, не достигшим шестнадцатилетнего возраста.

Статья скользкая, иной раз по ней и оговор попадается. В смысле секс был по согласию, но потом партнерша передумала или родственники, таким непотребством оскорбленные, нарисовались. Возможно так и было, ибо по ч. 3, когда девушке от 12 до 14 редко дают срок чуть выше минимума (3,5 года при вилке от 3 до 10 - это немного). Но, блин, факт соития ведь был? И эта родственница планирует привести к себе в дом откинувшегося зэка с такой статьей, где есть дитё подходящего возраста?

Для начала вежливо интересуюсь тем, а знает ли избранник о ее семейном положении. Оказывается да, и клятвенно обещал принять детей как своих.

Просто открываю статью в интернете и зачитываю выборочно, а затем интересуюсь: готова ли она принять сидельца с такой статьей и готова ли к тому, что вскоре он взгромоздится на ее дочку? В ответ пьяная обида на предмет того, что я, дескать, встал между ней и семейным счастьем. "Он хороший. Вы все завидуете. " Мой опыт работы следователем почти 10 лет ничего не значит.

Пришлось напроситься на ночлег к ее родителям. Они после моих слов, как бы поприличнее сказать, фалломорфировали. Им сама идея изначально не нравилась, а тут. мать в слезы, отец протрезвел, несмотря на то, что посидели неплохо. Пообещали забрать детей к себе, если дочь приведёт домой этого "незаконно осужденного".

Наутро снова заехал к "невесте" - разговор снова ушел в тему: "вы все завидуете, он хороший, его оговорили". Трындец, кабздец и звиздец в одном флаконе. Иных слов не подобрать.

Всегда считал за правило не лезть с советами в чужие семейные разборки, дабы потом в итоге виноватым не остаться.

Но, блин, за детишек же реально страшно. Слава яйцам, ее родители на моей стороне.