Сила и плотность тока. Линии тока

Электрический ток количественно характеризует сила тока (I), которая равна производной от заряда ($q$) по времени для тока, который течет через поверхность S:

По своей сути сила тока -- это поток заряда через поверхность S.

Электрический ток -- процесс движения, как отрицательных зарядов, так и положительных.

Перенос отрицательного заряда в одном направлении эквивалентен переносу такого же положительного заряда в противоположном направлении. В том случае, если ток создается зарядами обоих знаков $(dq^+\ и\ dq^-)$, то можно записать, что сила тока равна:

Положительным направлением тока считают направление движения положительных зарядов. Ток может быть постоянным и переменным. В том случае, если сила тока и его направление не изменяется во времени, то такой ток называют постоянным и для него выражение для силы тока можно записать в виде:

где сила тока определена, как заряд, который проходит через поверхность S в единицу времени. В системе СИ основной единицей измерения силы тока является Ампер (А).

Плотность тока. Связь плотности тока с зарядом и силой тока, напряженностью

Выделим в проводнике, по которому течет ток, малый объем dV произвольной формы. Обозначим через $\left\langle v\right\rangle $-- среднюю скорость, с которой движутся носители заряда в проводнике. пусть $n_0\ $-- концентрация носителей заряда. Выберем бесконечно малую площадку dS на поверхности проводника, которая перпендикулярно скорости $\left\langle v\right\rangle $ (рис.1).

Построим на площадке dS очень короткий прямой цилиндр с высотой $\left\langle v\right\rangle dt.$ Все частицы, которые находились внутри этого цилиндра за время dt пройдут через площадку dS и перенесут через нее в направлении скорости $\left\langle v\right\rangle \ $заряд равный:

\[dq=n_0q_e\left\langle v\right\rangle dSdt\left(4\right),\]

где $q_e=1,6\cdot ^Кл$ -- заряд электрона, то есть отдельной частицы - носителя тока. Разделим выражение (4) на $dSdt$ получим:

где $j$ -- модуль плотности электрического тока.

\[j=n_0q_e\left\langle v\right\rangle \left(6\right),\]

где $j$ -- модуль плотности электрического тока в проводнике, где заряд переносят электроны.

Если ток образуется в результате движения нескольких типов зарядов, то плотность тока можно определить как:

где i -- определяет носитель заряда.

Плотность тока -- векторная величина. Обратимся вновь к рис.1. Пусть $\overrightarrow$ -- единичная нормаль к площадке dS. Если частицы, которые переносят заряд положительные, то переносимый ими заряд в направлении нормали больше нуля. В общем случае элементарный заряд, который переносится в единицу времени, можно записать как:

Формула (8) справедлива и в том случае, когда площадка dS неперпендикулярная вектору плотности тока. Так как составляющая вектора $\overrightarrow$, перпендикулярная нормали, через площадку dS электричества не переносит. Таким образом, плотность тока в проводнике окончательно запишем, используя формулу (6) следующим образом:

\[\overrightarrow=-n_0q_e\left\langle \overrightarrow\right\rangle \left(9\right).\]

И так, плотность тока равна количеству электричества (заряду), который протекает за одну секунду через единицу сечения проводника. Для однородного цилиндрического проводника можно записать, что:

где S -- площадь сечения проводника.

Плотность постоянного тока одинакова по всему сечению проводника. Для двух разных сечений проводника ($S_1_2$) с постоянным током выполняется равенство:

Из закона Ома для плотности токов можно записать:

где $\lambda $ -- коэффициент удельной электропроводности.

Зная плотность тока, можно выразить силу тока как:

где интегрирование проводят по всей поверхности S любого сечения проводника.

Единица плотности тока $\frac$.

Линии тока

Линии, вдоль которых движутся заряженные частицы, называют линиями тока.

Направлениями линий тока являются направления движения положительных зарядов. Нарисовав линии тока, получают наглядное представление о движении электронов и ионов, которые образуют ток. Если внутри проводника выделить трубку с током, у которой боковая поверхность состоит из линий тока, то движущиеся заряженные частицы не будут пересекать боковую поверхность такой трубки. Подобную трубку называют трубкой тока. Например, поверхность металлической проволоки в изоляторе будет являться трубой тока.

Задание: Сила тока в проводнике увеличивается равномерно от 0 до 5 А в течении 20 с. Найдите заряд, который прошел через поперечное сечение проводника за это время.

За основу решения задачи примем формулу, которая определяет силу тока, а именно:

В таком случае заряд будет найден как:

В условии задачи сказано, что сила тока изменяется равномерно, это значит, что можно записать закон изменения силы тока как:

Найдем коэффициент пропорциональности в (1.3), для этого запишем закон изменения силы тока еще раз для момента времени при котором сила тока равна $I_2=$3А ($t_2$):

Подставим (1.4) в (1.3) и проинтегрируем в соответствии с (1.2), получим:

За начальный момент времени примем момент, когда сила тока равна нулю, то есть $t_1=0,$ $I_1=0\ А.$ $t_2=20,$ $I_1=5\ А.$

Задание: Найдите среднюю скорость движения электронов в проводнике молярная масса вещества, которого равна $\mu $, поперечное сечение проводника S. Сила тока в проводнике I. Считать, что на каждый атом вещества в проводнике приходится два свободных электрона.

Силу тока (I) в проводнике можно считать постоянной и соответственно записать, что:

где заряд q найдем как произведение числа электронов проводимости в проводнике, на заряд одного электрона $q_e$, который является известной величиной. $\triangle t$ -- промежуток времени за который через поперечное сечение проводника проходит заряд q.

Найти N можно, если использовать известное соотношение из молекулярной физики:

где $N'$- количество атомов в проводнике объем, которого V, плотность $\rho $, молярная масса $\mu $. $N_A$ -- число Авогадро. По условию задачи $N=2N'$.

Найдем из (2.2) число свободных электронов:

Подставим (2.3) в (2.1), получим:

где объем проводника найден как $V=Sl$, где $l$ -- длина проводника. Выразим ее.