Откуда появилась обыкновенная дробь?

Поиск и анализ исторических фактов о возникновении дробей. Рассмотрение интересных старинных задач с дробями в различных культурах.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Научно-практическая конференция «Шаг в науку»

учащихся 5-11 классов

Проект: « Откуда появилась обыкновенная дробь? »

Автор проекта (работы):

Общеобразовательное учреждение: МОУ «Лицей № 1»

Руководитель проекта (работы): Давыденко Наталья Борисовна

I Глава. История возникновения обыкновенной дроби…………………3

II Глава. Старинные задачи с применением обыкновенных дробей…………………………………………………………………………. 6

В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с такими понятиями, как половина, треть, четверть. А это ведь тоже дроби. С самого детства мы слышим такие выражения: "весит четверть килограмма", "одна вторая листа" или "три четверти часа". Во всех этих случаях мы говорим о дробях: одна четверть, две четверти, три четверти, одна вторая и треть - все это дроби. Люди разных профессий используют дроби в процессе работы, даже не задумываясь об этом. Например, врач, назначая количество лекарства больному, повар, отмеряя необходимые ингредиенты, продавец, водопроводчик, слесарь и даже музыкант. Да и мы пользуемся дробями с самого детства, не подозревая об этом ("Мама, дай мне половинку яблока", "Давай разделим шоколадку поровну", "Я еще четверть часика поиграю в компьютер").

Как же возникла необходимость в обыкновенных дробях? Откуда они взялись, как, когда, где и кто начал изучать дроби? Как записывали и использовали дроби в разные времена и в разных странах? В школьных учебниках нет информации на данную тему. А зачем изучать действия с дробями, если мы, не знаем, нужны ли они нам?

I Глава. История возникновения обыкновенной дроби

Давайте проследим историю возникновения обыкновенной дроби. Дроби появились в глубокой древности, когда древний человек решил разделить добычу с себе подобным. При разделе добычи, при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди столкнулись с необходимостью делить что-то на равные части, т.е. наряду с необходимостью считать предметы у людей с древних времён появилась потребность измерять длину, площадь, объём, время и другие величины. Результат измерений не всегда удавалось выразить натуральным числом, приходилось учитывать и части употребляемой меры. Так возникли дроби. Так русское слово дробь , как и его аналоги в других языках, происходят от латинского слова fractura , которое, в свою очередь, является переводом арабского с тем же значением: ломать, раздроблять . Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Следующей дробью была треть. В древности у разных народов использовались разные дроби и разные записи дробей. В своей работе я приведу несколько примеров использования дробей в древнем мире.

Начнем с Древнего Египта . Уже древние египтяне знали, как поделить 2 предмета на троих, для этого числа - - у них был специальный значок. Между прочим, это была единственная дробь в обиходе египетских писцов, у которой в числителе не стояла единица - все остальные дроби непременно имели в числителе единицу. А все дроби они старались записать как суммы долей, то есть дробей вида . Например, вместо они писали . Дроби такого вида называются аликвотные или единичные. Для обозначения математических дробей на письме древние египтяне использовали символ разрубленного Ока.

Теперь перенесемся в Древний Вавилон . В отличие от Египта там предпочитали постоянный знаменатель. Знаменателями таких дробей служили числа 60, 60 2 , 60 3 . то есть их обозначали, например, таким образом: 4; 52; 03. Это означало . Вместо слов «шестидесятые доли», «три тысячи шестисотые доли» говорили короче: «первые малые доли», «вторые малые доли». От этого и произошли слова минута (по латыни – меньшая) и секунда (от латыни – вторая). Вавилонский способ обозначения дробей сохранил свое значение и до сих пор.

Интересная система дробей была в Древнем Риме . Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью - весом. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия. Даже сейчас иногда говорят: " Он скрупулезно изучил этот вопрос ". Это значит, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось. А происходит это странное слово от римского названия асса - "скрупулус". В ходу были и такие названия: "семис" - половина асса, "секстанс - шестая его доля, "семиунция" - полунции, то есть асса, и т. д.

Теперь отправимся в Древнюю Грецию . Греческие ученые считали, что математика должна заниматься только целыми числами. «Если ты захочешь делить единицу, математики высмеют тебя и не позволят это делать», - писал основатель афинской Академии Платон. Но не все древнегреческие математики соглашались с Платоном. С дробями свободно обращались Архимед и Герон Александрийский. А так же впервые запись обыкновенных дробей с привычным числителем и знаменателем появилась у древних греков. Но они переворачивали дроби, записывая числитель снизу, а знаменатель сверху. Более точная копия современного обозначения обыкновенной дроби впервые появилась у индусов примерно 1500 лет назад. Однако и у них были расхождения. Они не разделяли числитель и знаменатель чертой. Черта появилась только в XVI в. А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы.

А что же было в Древней Руси ? Там дроби называли долями или ломаными числами . На Руси применялись «треть» и «половина». Другие дроби получали из них с помощью деления пополам. Например, вместо того, чтобы сказать «одна двенадцатая», говорили «пол-пол-трети». На Руси долгое время применяли следующие названия для дробных чисел:

Половина, полтина ; Четь ; Полчеть ,осьмушка ; Треть

Полтреть ; Полполтреть ; Десятина

А вот в Европе после V в. н .э. развитие математики почти остановилось. Центр математической активности перенесся в арабские страны. Творения многих греческих ученых, в том числе и Архимеда, были переведены арабами почти полностью. Большой вклад в математическую науку внесли ученые из Средней Азии (таджики, узбеки), писавшие на арабском языке. Первым европейским ученым, который стал использовать и распространять современную запись дробей, был итальянский купец и путешественник, сын городского писаря Фиббоначи (Леонардо Пизанский). В 1202 году он ввёл слово «дробь». Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными . Названия "числитель" и "знаменатель " ввел в XIII веке Максим Плануд - греческий монах, ученый-математик.

II Глава. Старинные задачи

с применением обыкновенных дробей

На дроби существует много старинных задач. Вот некоторые из них: В произведении знаменитого римского поэта I века до н. э. Горация так описана беседа учителях учеником в одной из римских школ этой эпохи:

Учитель. Пусть скажет сын Альбина, сколько останется, если от пяти унций отнять одну унцию?

Ученик. Одна треть.

Учитель. Правильно. Ты сумеешь беречь свое имущество.

Задача из "Арифметики" известного среднеазиатского математика Мухаммеда ибн-Мусы ал-Хорезми (IX век н. э.). "Найти число, зная, что если отнять от него одну треть и одну четверть, то получится 10".

1. - отняли от числа за два раза.
2. - составляют число десять.
3. - искомое число.

Еще одна задача из "Папируса Ахмеса" (Египет, 1850г. до н.э.).

"Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:- Сколько приводишь ты своего многочисленного стада? Пастух отвечает: - Я привожу две трети от трети скота. Сочти!"

1) 70:2·3=105 голов - это 2/3 от скота.

2) 105·3=315 голов скота.

Ответ : 315 голов скота.

Староиндийская задача математика Сриддхары (XI век н.э. ). Есть кадамба цветок, На один лепесток Пчелок пятая часть опустилась. Рядом тут же росла Вся в цвету сименгда, И на ней третья часть поместилась .Разность их ты найди, Ее трижды сложи И тех пчел на кутай посади Только две не нашли Себе место нигде ,Все летали то взад, то вперед и везде Ароматом цветов наслаждались. Назови теперь мне, Подсчитавши в уме, Сколько пчелок всего здесь собралось?

1. - разность
2. - пчел, которых посадили на кутай
3. - пчел на трех цветках
4. - составляют 2 пчелки
5. - пчел всего.

Ответ: всего 30 пчел.

Задача армянского ученого Анания Ширакаци (VII век н.э.). "Один купец прошел через 3 города, и взыскивали с него в первом городе пошлины половину, и треть имущества, и во втором городе половину и треть (с того, что осталось), и в третьем городе половину и треть (с того, что осталось). Когда он прибыл домой, у него осталось 11 денежков (денежных единиц). Итак, узнай, сколько всего денежков было вначале у купца?"

1. - оставшегося имущества взыскали в третьем городе.
2. - составляют 11 денежков.
3. - денежков было у купца в третьем городе.

А по аналогии с предыдущим решением 66 денежков составляют часть оставшихся денежков во втором городе, т.е.

1. - денежков было у купца во втором городе.

А 396 денежков – это часть оставшихся денежков в первом городе, т.е.

1. - денежков было у купца в начале.

Ответ: У купца было 2376 денежков.

Задача о статуе Минервы.

"Я изваяна из золота. Поэты то злато в дар принесли. Хоризий принёс половину всей жертвы, Фестия часть восьмую дала, десятую – Солон. Часть двадцатая – жертва певца Фимисона. А девять – всё завершивших талантов – Обет, Аристоником данный. Сколько же злато поэты все вместе в дар принесли?"

Пусть поэтами в дар принесены Х талантов, тогда составим уравнение:

Ответ: 40 талантов золота.

Задача об источниках Герона Александрийского (I в. до н.э.).

"Из-под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй – за 2 дня, третий – за 3 дня, четвертый – за 4 дня. За сколько времени заполнят бассейн четыре источника вместе?" Решение: ( )-скорость заполнения источниками.

(дня) - время наполнения бассейна всеми источниками вместе.

Задача о Музах . Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает: «Что тебя так огорчило, ответствуй немедля!» «Яблок я нес с Геликона немало, – Эрот отвечает – Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу. Частью двенадцатой вмиг овладела Эвтерпа, Клио пятую часть взяла, Талия – долю восьмую. С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть взяла Терпсихора. С частью седьмою Эрато от меня убежала, Тридцать плодов утащила Полигимния. Сотня и двадцать взяты Уратией, Триста плодов унесла Каллиопа. Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками. Только полсотни плодов мне оставили Музы на долю». Сколько яблок нес Эрот до встречи с Музами?

Пусть Х - яблок было у Эрота вначале, тогда оставим уравнение

Ответ: 3360 яблок было у Эрота.

Задача о школе Пифагора. Тиран острова Самос Поликрат однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат,— отвечал Пифагор.— Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины". Сколько учеников было у Пифагора?

Пусть Х - количество учеников у Пифагора, тогда составим уравнение

Ответ: 28 учеников было у Пифагора.

Итак, в своей работе я показал, что дроби появились очень давно и на протяжения всего времени существования человека, он использовал, на ряду с целыми числами, и дроби.

Я узнал, что: дроби появились в Древнем Египте для более точного счёта; слово дробь произошло от слова "дробить", "ломать", "разбивать на части"; дробная черта появилась всего 300 лет назад; в каждой культуре были и есть интересные задачи с дробями; дроби были важны для решения практических задач. И раз древние египтяне, вавилоняне, римляне и др. могли использовать дроби и проводить вычисления с использованием дробей, то и современный человек, даже имея современную вычислительную технику, обязан уметь пользоваться дробями.