Моделирование непрерывных случайных величин с заданным законом распределения

В соответствии с методом Бокса–Маллера случайные числа формируются парами с математическим ожиданием, близким к значению , и средним квадратическим отклонением, близким к единице, т. е. :

где , — случайные числа из интервала с равномерным распределением.

Выборка случайных чисел, сформированная по методу Бокса–Маллера, может центрироваться с целью получения параметров нормального закона практически равным своим теоретическим значениям стандартного нормального закона , т. е. , .

Пример 3. Сформируйте случайных чисел в соответствии со стандартным нормальным законом .

Программный код решения примера:

1. В программе примените циклические операции расчета средних значений и средних квадратических отклонений.
2. Рассчитайте параметры нормального закона для сформированной выборки случайных чисел с помощью функций и , сравните результаты.
3. Постройте функцию плотности и функцию распределения для нормализованных данных. Сравните с функциями для данных, получаемых с помощью встроенной функции .
4. Напишите программу формирования выборки случайных чисел, распределенных по нормальному закону в соответствии с методом Марсальи–Брея по следующему алгоритму:
   1. Генерируются два равномерно распределенных случайных числа , из интервала .
   2. Формируются два соотношения .
   3. Составляется сумма .
   4. Если , то пп. 1-3 повторяются.
   5. Если , то вычисляется первая пара случайных чисел , :

   Для выборки случайных чисел, сформированных по методу Марсальи–Брея, рассчитать параметры нормального закона , т. е. математическое ожидание (среднее) и среднее квадратическое отклонение ( стандартное отклонение ).

   Примечание. Для формирования выборки нормально распределенных случайных чисел с произвольными параметрами и следует воспользоваться формулой

   где — выборка случайных чисел, распределенных по стандартному нормальному закону , т. е. когда , .

   4. Формирование выборки случайных чисел, соответствующей нормальному распределению, с помощью центральной предельной теоремы

   Известно [20], что сумма одинаково распределенных независимых случайных величин стремится к нормально распределенной величине при бесконечном увеличении . Например, можно воспользоваться случайными числами, равномерно распределенными в интервале . В соответствии с центральной предельной теоремой сформированное случайное число является асимптотически нормальной величиной со средним и дисперсией . В случае, когда используется какое-либо другое распределение с заданным математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением , расчетное математическое ожидание будет равно и среднее квадратическое отклонение .

   Когда для формирования нормально распределенных случайных чисел суммируются равномерно распределенные случайные величины из интервала , то приемлемые результаты в смысле параметров стандартного нормального закона дает формула

   где — равномерно распределенное случайное число из интервала .

   Пример 4. Сформируйте 5000 нормально распределенных чисел в соответствии с центральной предельной теоремой на основе суммирования случайных чисел, равномерно распределенных в интервале .

   Программный код решения примера:

   1. Постройте функции плотности и распределения для случайных величин, сформированных по вышеприведенной программе.
   2. Получите выборку случайных чисел со стандартным нормальным распределением при суммировании случайных чисел, распределенных:
      • по экспоненциальному закону,
      • по закону Эрланга 3-го порядка.

   При необходимости произведите центрирование полученных случайных величин.

   5. Моделирование нормального закона распределения в системе GPSS/PC

   В системе GPSS /PC, как и в других версиях среды GPSS , необходимо обеспечить неотрицательность значений интервалов поступления требований (транзактов) в систему и их задержки (обслуживания). Область определения случайной величины для нормального закона представляет собой всю числовую ось . Поэтому, чтобы обеспечить по возможности только неотрицательные значения случайной величины, необходимо выполнить требование , где — математическое ожидание, а – среднеквадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины. Во многих системах программирования имеются генераторы случайных чисел со стандартным нормальным законом распределения, для которого , . Но переход к нормальному закону с другими параметрами можно произвести по формуле (3.6). Поэтому в системах GPSS можно использовать стандартный нормальный закон распределения с последующим преобразованием по формуле (3.6).

   Пример 5. Выполните моделирование одноканальной системы обслуживания, для которой известно, что поступление требований подчиняется равномерному закону из интервала мин., время обслуживания подчиняется нормальному закону с параметрами ., . Моделирование произведите по обслуживанию 1000 требований (транзактов).

   Для решения примера сначала сформируем в среде MATLAB функцию стандартного нормального закона для области определения от 0 до 30 мин. Затем данные функции распределения и ее аргумента экспортируем в систему GPSS /PC.

   MATLAB-программа формирования массива данных для стандартной функции нормального распределения:

   Получаемые результаты здесь не приводятся, они будут использованы в GPSS -программе после их экспортирования.

   Примечание. В системе GPSS /PC массив данных для функции распределения должен начинаться с нулевых значений, поэтому в программе предусмотрено прибавление нулей к формируемому массиву.

   Программный код решения примера в GPSS /PC:

   В программе предусмотрено табулирование времени пребывания транзактов в устройстве обслуживания по стандартному числовому атрибуту , где цифра относится к номеру параметра, через который производится отметка времени блока .

   На рис. 3.1 приведена гистограмма распределения времени обслуживания. Эта гистограмма может быть получена после запуска программы на исполнение при закомментированном операторе , и далее с помощью комбинации клавиш Alt+T можно перейти в окно просмотра таблиц.

   Как видно из рис. 3.1, гистограмма имеет форму, близкую к функции плотности нормального закона . Среднее значение времени распределения обслуживания требований в устройстве равно 17.62 ( ), стандартное отклонение равно 3.00 ( ), что достаточно близко к условию примера.

   📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎