Слободянюк А.И. Физика 10/16.4

§16. Превращение энергии в электрических и магнитных явлениях

Рассмотренный в предыдущем разделе процесс зарядки конденсатора посредством перенесения заряда с одной обкладки на другую имеет исключительно теоретический интерес, как метод расчета энергии конденсатора. Реально конденсаторы заряжают, подключая их к источнику ЭДС, например, к гальванической батарее.

Пусть конденсатор емкостью C подключен к источнику, ЭДС которого равна ε (Рис. 145). Полное электрическое соединение цепи (включающее и внутренне сопротивление источника) обозначим R. При замыкании ключа в цепи пойдет электрический ток, благодаря которому на зарядках конденсатора будет накапливаться электрический заряд. По закону Ома сумма напряжений на конденсаторе \(

U_C = \frac\) и резисторе \(U_R = IR\) равна ЭДС источника \(\varepsilon = U_C + U_R\), что приводит к уравнению

IR = \varepsilon - \frac\) . (1)

В этом уравнении заряд конденсатора и сила тока зависят от времени. Скорость изменения заряда конденсатора по определению равна силе тока в цепи \(

I = \frac\), что позволяет получить уравнение, описывающее изменение заряда конденсатора с течением времени

Можно также получить уравнение, непосредственно описывающее изменение силы тока в цепи с течением времени. Для этого на основании уравнения (1) запишем уравнения для малых изменений входящих величин

\Delta \varepsilon = \Delta (IR) + \Delta \left (\frac \right )\) .

Формально эту операцию можно описать следующим образом: уравнение (1) следует записать для двух моментов времени t и (t + Δt), а затем из второго уравнения вычесть первое. Так как ЭДС источника постоянна, то ее изменение равно нулю Δε = 0, сопротивление цепи и емкость конденсатора постоянны, поэтому их можно вынести из под знака изменения Δ , поэтому полученное уравнение приобретает вид

R \Delta I = - \frac \Delta q\) .

Наконец разделим его на промежуток времени, в течение которого произошли эти изменения, в результате получаем искомое уравнение (с учетом связи между силой тока и изменения заряда)

Математическая смысл этого уравнения указывает, что скорость уменьшения тока пропорциональна самой силе тока. Для однозначного решения этого уравнения необходимо задать начальное условие – значение силы тока в начальный момент времени I0 = I(0).

С уравнениями такого типа мы познакомились в «математическом отступлении», поэтому здесь его анализ проведем кратко. В начальный момент времени, когда заряд конденсатора равен нулю, скорость возрастания заряда (то есть сила тока) максимальна и равна \(

I_0 = \Delta \left (\frac \right )_0 = \frac\). Затем по мере накопления заряда сила тока будет уменьшаться, когда напряжение на конденсаторе станет равным ЭДС источника, заряд конденсатора достигнет максимального стационарного значения \(

\overline = C\varepsilon\) и ток в цепи прекратится.

Схематически зависимости заряда конденсатора и силы тока в цепи от времени показаны на рис. 146. Для оценки времени зарядки конденсатора можно принять, что заряд возрастает до максимального значения с постоянной скоростью, равной силе тока в начальный момент времени. В этом случае

Аналогичная оценка исчезновения тока, полученная на основании уравнения (3) приводит к этому же результату.

Строго говоря, время зарядки конденсатора, описываемой уравнением (2) равно бесконечности. Это парадокс можно исключить, если принять во внимание дискретность электрического заряда. Кроме того, заряд конденсатора, подключенного к батарее с течением времени случайным образом изменяется, флуктуирует, поэтому рассматриваемое уравнение описывает некоторые усредненные характеристики процесса. Тем не менее, полученная оценка времени RC широко применяется в приближенных расчетах, часто ее называют просто временем зарядки конденсатора.

Рассмотрим теперь превращения различных форм энергии в данном процессе. Понятно, что причиной тока в цепи и как следствие зарядки конденсатора являются сторонние силы источника. На первый взгляд, энергетический баланс включает определенное противоречие: если источник сообщил конденсатору заряд q, то сторонние силы совершили при этом работу A0 = qε , при этом энергия конденсатора стала равной \(

W = \frac = \frac\) , что в два раза меньше работы совершенной источником. Противоречие исчезает, если принять во внимание, что в процессе зарядки по цепи течет электрический ток, поэтому на резисторе выделяется некоторое количество теплоты, то есть часть энергии источника переходит в тепловую. Мысленно разобьем время зарядки на малые промежутки Δti (i = 1,2,3. ). Перепишем уравнение (1) в виде

\varepsilon = IR + \frac\) , (5)

и умножим его на величину малой порции заряда, переносимого за малый промежуток времени Δti, Δqi = IiΔti . В результате получим

\varepsilon \Delta q_i = I_i R \Delta q_i + \frac \Delta q_i\) . (6)

Здесь обозначено qi - заряд конденсатора перед перенесением рассматриваемой порции заряда. Каждый член полученного уравнения имеет явный физический смысл: \[

\varepsilon \Delta q_i = \delta A\] - работа сторонних сил по перемещению порции заряда Δqi; \[

\frac \Delta q_i = \Delta W_C\] - увеличение энергии конденсатора при увеличении его заряда на Δqi; \[

I_i R \Delta q_i = I^2_i R \Delta t_i = \delta Q\] - количество теплоты, выделившееся на резисторе, при протекании порции заряда Δqi.

Таким образом, закон сохранения энергии, выражаемый уравнением баланса (6) для малого промежутка времени оказывается выполненным, следовательно, он будет выполнен и для всего процесса зарядки. Просуммируем выражение (5) по всем промежуткам времени зарядки, в результате чего получим: \[

\sum_i \varepsilon \Delta q_i = \varepsilon \overline = A\] - полная работа сторонних сил по перенесению электрического заряда, равного стационарному заряду конденсатора; \[

\sum_i I_i R \Delta q_i = \sum_i I^2_i R \Delta t_i\) - количество выделившейся на резисторе теплоты.

Принимая во внимание уравнение (3) и формулы из «математического отступления», последнюю сумму можно выразить в виде

Q = R \sum_i I^2_i \Delta t_i = R \frac I^2_0 \tau = R \frac \left ( \frac \right )^2 RC = \frac\) . (6)

Эта сумма же может быть вычислена графически. Формула (1) задает зависимость напряжения на резисторе \(U_R = IR\) от заряда конденсатора. Эта зависимость линейна, ее график (Рис. 147) является отрезком прямой линии. За малый промежуток времени через резистор протечет малый заряд Δqi, при этом выделится количество теплоты \(

\delta Q_i = I_i R \Delta q_i\), которое численно равно площади узкой полоски, выделенной на рисунке. Полное количество теплоты, выделившейся при прохождении всего заряда численно равно площади треугольника под графиком зависимости UR(q), то есть

Q = \frac C \varepsilon \cdot \varepsilon = \frac = \frac\) . (7)

Таким образом, энергетический баланс полностью сходится и для всего процесса целиком: работа, совершенная источником равна сумме энергии конденсатора и количества выделившейся теплоты \(A = W_C + Q\). Схематически преобразование энергии в этом процессе показано на рис. 148.

Интересно заметить, что количество теплоты, выделяющееся при зарядке, не зависит о сопротивления цепи и в точности равно энергии конденсатора. То есть, половина энергии источника переходит в энергию электрического поля, а вторая в тепловую энергию, выделяющуюся в цепи: природа требует своеобразный пятидесятипроцентный налог в виде тепловых потерь, не зависимо от сопротивления цепи и емкости конденсатора [1] .