Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди

В этом параграфе рассмотрим n-канальную (n ≥ 1) СМО с ожиданием, максимальное число мест в очереди которой равно m≥ 1. Пусть на вход СМО поступает простейший поток заявок Пвх с интенсивностью λ. Поток обслуживаний Поб каждым каналом также простейший с интенсивностью μ.

Так как указанные потоки стационарны, то λ и μ не изменяются с течением времени. Заявка, поступившая в СМО в момент, когда в очереди уже стоят m заявок, получает отказ и покидает систему.

Занумеруем состояние системы по числу заявок, находящихся в СМО, как в очереди, так и под обслуживанием:

s0 – в СМО нет заявок, т.е. все n каналов свободны;

s1 – в СМО одна заявка, т.е. занят 1 канал, остальные свободны;

sk – в СМО k(< n) заявок, т.е. заняты k каналов, а остальные n-k свободны;

sn – в СМО n заявок, т.е. все n каналов заняты, очереди нет;

sn+1 – в СМО n + 1 заявка, т.е. все n каналов заняты и одна заявка – в очереди;

sn+r – в СМО n + r заявок, т.е. все n каналов заняты и в очереди стоят r заявок;

sn+m – в СМО n + m заявок, т.е. все n каналов заняты и m заявок стоят в очереди.

Таким образом, данная СМО может находится в одном из n + m + 1 состояний. В состояниях s0, s1, …, sn очереди нет. Размеченный граф состояний рассматриваемой системы изображен на рис. 7.1.

Переходы СМО из состояния в состояние по стрелкам слева направо происходят под воздействием одного и того же входящего потока Пвх заявок с интенсивностью λ. Поэтому плот­ности вероятностейпереходов

Если системанаходится в состоянии, в котором занято k (1 ≤ k ≤ n) каналов, то переход ее в левое соседнее состояние порождается потоком, представляющим собой суммуkпотоков обслуживаний. Поэтому интенсивность этого суммарного потока будет равна kμ.Таким образом, плотности вероятности переходов СМО по стрелкам справа налево

Из графа состояний видно, что процесс, протекающий в СМО, является процессом гибели и размножения с конечным числом состояний. Поэтому со временем установится предель­ный режим его протекания, и существуют предельные вероят­ности состояний pk, k = 0,1,…,n+m, которые можно найти из формул (3.19)-(3.21), заменяя в них nна n+m и подставляя (7.1) и (7.2).

Для k = 1,…,n подставим формулы (7.1) и (7.2) в формулу (3.21), используя показатель нагрузки ρ = λ/ μ, получим:

Для k = n+1 из формул (3.21), (7.1) и (7.2) будем иметь:

Введем в рассмотрение величину ψ = ρ/n, представляющую собой показатель нагрузки, приходящийся на один канал, получим

Тогда из выражения (3.19):

Вторая сумма в правой части равенства (7.4) есть сумма m членов геометрической прогрессии с первым членом ψ n+1 и знаменателем ψ. Если ψ ≠ 1, то по формуле суммы m членов геометрической прогрессии

Теперь мы можем найти и остальные предельные вероятности состояний, подставив равенство (7.3) в формулу (3.20):

где ρ0 определяется по формуле (7.5).

Используя найденные предельные вероятности состояний, выведем формулы для некоторых характеристик эффективности функционирования рассматриваемой СМО.

Заявка, поступившая в момент, когда заняты все nканалов и все m мест в очереди, т.е. когда СМО находится в состоянии sn+m получает отказ. Поэтому вероятность отказа есть вероят­ность того, что СМО находится в состоянии sn+m.Следователь­но, из равенства (7.6) при k=n+m получаем:

Поскольку события отказа заявке и приема ее в СМО явля­ются противоположными, то вероятность принятия в систему пришедшей заявки

Относительная пропускная способность Q совпадает с веро­ятностью pсис:

Тогда абсолютная пропускная способность:

Выведем формулу для среднего числа занятых каналов, или что то же, для среднего числа заявок, находящихся под обслуживанием. Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем μ заявок в единицу времени, а вся система обслуживает в среднем А заявок в единицу времени, то

Для вычисления среднего числа заявок, находящихся в очереди, рассмотрим дискретную случайную величину NОЧ – число заявок в очереди.

Очевидно, что закон распределения этой случайной величины будет иметь вид:

Здесь p = p0 + p1 +…+ pn. Поясним, что случайная величи­на NОЧ принимает значение 0 с вероятностью p, равной сумме вероятностей p0 + p1 +…+ pn, поскольку событие, состоящее в том, что в очереди нет ни одной заявки, является объединени­ем событий, состоящих в том, что СМО находится в каждом из состояний s0, s1, …, sn. Исходя из этого закона распределения, среднее число подсчитаем как математическое ожидание случайной величины NОЧ, используя формулы (7.6):

В сумме правой части этого равенства произведем замену индекса суммирования:

l = k-n. Тогда k =l+n, l =1 при k = n+1 и l=m при k = n+m. В результате получим:

Пользуясь формулой (5.12) при замене в ней ρ на ψ ≠ 1 и формулой суммы m членов арифметической прогрессии , найдем для окончательное выражение:

Зная среднее число заявок, находившихся под обслуживанием, и среднее число заявок, стоящих в очереди, можно найти среднее число заявок, находящихся в системе:

Теперь подсчитаем среднее время ожидания заявки в очереди. Рассмотрим n+m+1 несовместных гипотез Hk, k=0,1,…,n+m, состоящих в том, что СМО находится соответственно в состоянии sk, k=0,1,…,n+m. Тогда вероятности этих гипотез p(Hk) = pk, k=0,1,…,n+m.