Подготовка к ЕГЭ по математике

1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Галеев Э. М. Подготовка к ЕГЭ по математике Алгебра Тригонометрия Текстовые задачи Производные Исследование функций Задачи с параметрами Планиметрия и стереометрия Москва 2012

2 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Галеев Э. М. Подготовка к ЕГЭ по математике Алгебра Тригонометрия Текстовые задачи Производные Исследование функций Задачи с параметрами Планиметрия и стереометрия Издание четвертое, переработанное Москва 2012

3 ББК 22.1 я 729 УДК Учебно-методическое пособие Галеев Э.М. Подготовка к ЕГЭ по математике. Алгебра. Тригонометрия. Текстовые задачи. Производные. Исследование функций. Задачи с параметрами. Планиметрия и стереометрия. Изд. 4-е, переработанное. Издательство Попечительский совет механикоматематического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова c. В пособии рассматриваются наиболее трудные задачи единого государственного экзамена пункта B и все задачи пункта C. В пособии содержатся задачи из демоверсий ЕГЭ с 2002 (первого года введения ЕГЭ) по 2012 г.г., экзаменационные варианты ЕГЭ, тренировочные варианты. К подавляющему большинству задач (кроме тестовых) даны ответы. Пособие предназначено для выпускников школ и учителей математики. Рецензент: д.ф.-м.н., Богатый С. А Г 3Ш7(03) 02 Без объявл. ISBN c Галеев Э.М., 2012 г. c Издательство Попечительский совет мех-мат. ф-та МГУ, 2012 г.

4 Оглавление Предисловие Алгебра Тригонометрия Текстовые задачи Производные Исследование функций Задачи с параметрами Планиметрия Стереометрия Ответы Сведения об авторе

5 4 Предисловие Пособие предназначено для подготовки к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике. В нем рассматриваются наиболее трудные задачи пункта B и все задачи пункта C. Оно является продолжением книг автора Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ Части 1-5 и предлагается для подготовки именно к ЕГЭ. Книга состоит из восьми параграфов, включающих в себя алгебру, тригонометрию, текстовые задачи, производные, исследование функций, функциональные уравнения, задачи с параметрами, планиметрию и стереометрию. Параграфы разделены на три части. Первая часть задачи тематики параграфа из демоверсий ЕГЭ пунктов B и С, имеющиеся на сайте ФИПИ, расположенные в хронологическом порядке с 2002 года. Во второй части содержатся задачи, дававшиеся на ЕГЭ. В третьей части предлагаются задачи для подготовки к ЕГЭ, взятые из пособий других авторов. В формулировках задач, как правило, будем опускать стандартные фразы типа: решить уравнение, решить неравенство, решить систему и т. д. Пособие написано при поддержке подготовительных курсов НОУ Университетская математическая школа, преподавателем которой в течении многих лет является автор. Записаться к нему на занятия по подготовке к вступительным экзаменам по математике в МГУ или по подготовке к ЕГЭ можно по телефону Галеев Э. М.

8 (ЕГЭ, 2009, B2) Решите уравнение x 2 24 = 1. (Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите меньший корень.) (ЕГЭ, 2009, B4) Решите уравнение 5 x +20 ( 5 ) x 125 = 0. (Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запишите их произведение.) (ЕГЭ, 2009, B6) Вычислите 6 log lg (ЕГЭ, 2009, B7) Найдите количество целочисленных решений неравенства x 2 3x x (ЕГЭ, 2010, B3) 3 x 2 = (ЕГЭ, 2010, B7) Найдите значение выражения log log (ЕГЭ, 2003, C1) ( 2 log 12 x + 6 ) ( 3 = log x 5 12 x 2 2 ) + 3. x (ЕГЭ, 2004, C1) < log 0,9 (2y 3x + 1) = 0, 0,5 log 2 (3y x 1,5) + log 4 (8x) = (ЕГЭ, 2005, C2) Найдите нули функции y = ln 2 (x 2 3x 9) + x 3 8x (ЕГЭ, 2005, C3) y + 10x + 11 = 5y 15x + 22, 2y 5x 25 2y 5x + 25 = y 5 5x.

9 (ЕГЭ, 2006, C2) Тест При каких значениях x соответственные значения функций f(x) = log 2 x и g(x) = log 2 (3 x) будут отличаться меньше, чем на 1? (ЕГЭ, 2008, C2) log 3 4x 2(9 16x 4 ) = log 2 (3 4x 2 ) (ЕГЭ, 2009, C3 демоверсия МИОО; МГУ, мех-мат, март 1990, 3(6)) 1 x 3 1 x. 1 + x (ЕГЭ, , C3) log x+3 (9 x 2 ) 1 16 log2 x+3(x 3) (ЕГЭ, , C6) Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел (то есть чисел, наибольший общий делитель которых равен 1) a и b, что если к десятичной записи числа a приписать справа через запятую десятичную запись числа b, то получится десятичная запись числа, равного b a (ЕГЭ, 2012, C3) 4 x 9 2 x + 22, log 3 (x 2 x + 1 x 2) 1 + log 3 x (ЕГЭ, 2012, C6) На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно 8. а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

10 9 Задачи ЕГЭ (ЕГЭ, 2006, B1) log 7 (8x 20) log 7 2 = log (ЕГЭ, 2006, B1) x 6 3x x = (ЕГЭ, 2006, B3) 4x 2 27 = x (ЕГЭ, 2006, B3) Тест Вычислите (ЕГЭ, 2006, B4) Тест Вычислите 49 a 1 a 0, a0,5 при a = (ЕГЭ, 2007, B5) Решите уравнение 2x 2x + 15 = 4. (Если уравнение имеет больше одного корня, то в ответе запишите произведение корней.) (ЕГЭ, 2007, B7) Тест Вычислите (log log 6 9) 0,5 log 6 (12 6) (ЕГЭ, 2008, B1) Вычислите (ЕГЭ, 2008, B1) Тест 2x 2 2x = x (ЕГЭ, 2008, B2) 3 2 log 2 x = 4,2 4x.

11 (ЕГЭ, 2008, B3) Найдите значение выражения 0,8 2y, если 0,8 y = (ЕГЭ, 2008, B4) Решите уравнение log 11 x log 5 x = log (Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запишите их произведение.) (ЕГЭ, 2008, B4) Решите уравнение 7x x = 0. (Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запишите их произведение.) (ЕГЭ, 2008, B6) Вычислите log 2 (4 2 28) + log 2 ( ) (ЕГЭ, 2008, B7) Найдите количество целочисленных решений неравенства x 2 + 5x x > (ЕГЭ, 2008, B7) Найдите количество целочисленных решений неравенства 6, x x > (ЕГЭ, 2009, B2) Решите уравнение x 2 9 = 4. (Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите их произведение.) (ЕГЭ, 2009, B4 досрочный) Вычислите (ЕГЭ, 2009, B4) Решите уравнение log 6 (x 5) 2 = ( log 4 (x + 13) ) log 6 (x 5). (Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите сумму корней.)

12 (ЕГЭ, 2009, B6 досрочный) Решите уравнение ( log 2 (8 x) ) log 9 (10 + x) = 4 log 9 (10 + x). (Если уравнение имеет больше одного корня, то в бланк ответов запишите сумму корней.) (ЕГЭ, 2010, B3) 2 x 13 = (ЕГЭ, 2010, B3) ( 1 ) 18 5x = (ЕГЭ, 2010, B7) Вычислите 3 2+log (ЕГЭ, 2002, C1) 32 x+3 3 3x x+2 = 600 x (ЕГЭ, 2002, C1) 2 5x 1 3 4x+1 7 3x+3 = 504 x (ЕГЭ, 2002, C1) 9 4x x 4 4x = (ЕГЭ, 2002, C1) x x = 5x (ЕГЭ, 2002, C2) Найдите множество значений функции y = log 0, log 5 (125 + x 4 ) (ЕГЭ, 2002, C2) Найдите множество значений функции log 2 x 4 y = log 0,25. 2

13 (ЕГЭ, 2002, C2) Найдите множество значений функции y = 3x x +2 x, если x (ЕГЭ, 2002, C2) Найдите множество значений функции y = 3 x 4x, если x 1. x (ЕГЭ, 2003, C1) log x 3 = 2 log ( ) 3 3 x (ЕГЭ, 2003, C1) log x 2 = 3 log ( 2 0,5x 3 x ) (ЕГЭ, 2003, C1) log 81 (15 7x) log 3 x 9 = (ЕГЭ, 2003, C1) log 9 (37 12x) log 7 2x 3 = 1. Тест Тест (ЕГЭ, 2003, C1) ( 4 log ) ( 8 = 3 log 2x ). x (ЕГЭ, 2004, C1) 6y x 6 = 3y x, 3y + 2x 1 9 3y+2x + 27 = y 3 2x (ЕГЭ, 2004, C1) 3x y 6x 2y 7 = 4 x 11y 8 3x y 16 = x y. + 1,

14 (ЕГЭ, 2004, C1) xy + 7x y + 5 = x + 2, 25x x ,5 log 3 = 2 log y (2 x) (ЕГЭ, 2005, C1) Найдите все значения x, для которых точки графика функции y = log 7(10 2x) 3 x функции y = 2 3 x. лежат выше соответствующих точек графика (ЕГЭ, 2005, C1) Найдите все значения x, для которых точки графика функции y = log2 (23 + 4x) 0,7 лежат выше соответствующих точек графика 45 4x функции y = 83 4x (ЕГЭ, 2005, C1) Найдите все значения x, для которых точки графика функции y = 4x 18 2 x лежат ниже соответствующих точек графика 20 3x функции y = x (ЕГЭ, 2005, C2) 1 2x + x x 5x 2 = x (ЕГЭ, 2005, C2) x 2 4x x 2 17x + 15 = 2 x (ЕГЭ, 2005, C2) (3 x 4 ) 2 + (3 x 6 )( 3 x + 9 ) = 3 x (ЕГЭ, 2006, C1) log 2 x 5 log 2 2 x + 31 = ( 25 x 2) 2 + x (ЕГЭ, 2006, C1) log 2 x + log 2 2 x 1 = ( 5 x 2) 2 + x 2.

15 (ЕГЭ, 2006, C1) 3 9 x 28 3 x + 11 = ( 2 2x 2) 2 + 2x (ЕГЭ, 2006, C1) Тест cos 7x = ( 1 x 2) 2 + x (ЕГЭ, 2006, C2) Найдите все значения x, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций f(x) = 0,5 7 4x+9 и g(x) = 2 меньше, чем 1, (ЕГЭ, 2006, C2) Найдите все значения x, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций f(x) = log 9 (8x 7) и g(x) = 2,5 меньше, чем 0, (ЕГЭ, 2006, C2) Найдите все значения x, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций f(x) = x + 1 2x 2 и g(x) = 1 меньше, чем 0, (ЕГЭ, 2007, C2) 2 3x + x 2 = 2(x 1) x (ЕГЭ, 2007, C2) x = 0,5 ( 2 + 6x + 4 2x 2 6x + 5 ) (ЕГЭ, 2007, C2) x 2 + x = 0,6 ( x + 3 5x 2 + 2x + 1 ). Тест (ЕГЭ, 2008, C2) log 3 4x (4x 2 13x + 7) = (ЕГЭ, 2008, C2) 1 log 2 (3 4x). Найдите все значения x, при каждом из которых выражения 6 log 3 (9 4x2 ) и 6 log 3 (2x+3)+log 3 (2x 2 +3x+6) принимают равные значения.

16 (ЕГЭ, 2008, C2) Найдите все x, при каждом из которых выражения 9 log 7 (9 25x2 ) и 9 log 7 (3 5x)+log 7 (10x2 6x+6) принимают равные значения (ЕГЭ, 2008, C2) Найдите все x, при каждом из которых выражения 3x 2 + 2x и 3x 2 log 3 (2 + 3x) 6x log x принимают равные значения (ЕГЭ, 2008, C2) Найдите все x, при каждом из которых выражения 5 x 49 x x и 14 x 7 x x 1 принимают равные значения (ЕГЭ, 2008, C2) Найдите абсциссы всех точек пересечения графиков функций y = log 3 2 x + 3 log 2 2 x и y = 1 log x (ЕГЭ, 2009, C1 досрочный) Найдите все значения x, для каждого из которых соответствующая ему точка графика функции y = log 0,5(42 5x) лежит ниже x соответствующей ему точки графика функции y = (ЕГЭ, 2010, C3) log 3 x+3 27 log 3 x+3 ( 81x) 1 log 3 log 13 3 x (ЕГЭ, 2010, C3) 100+4x. log 5 ( (7 x 2 5)(7 x ) ) + log 5 7 x2 5 7 x > log 5(7 4 x2 3) (ЕГЭ, 2010, C6) Перед каждым из чисел 4, 5. 8 и 11, 12. 19 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 45 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

17 (ЕГЭ, 2010, C6) Перед каждым из чисел 10, 11. 20 и 2, 3. 6 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 55 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? (ЕГЭ, 2010, C6) Каждое из чисел 9, 10. 17 умножают на каждое из чисел 3, 4. 8 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, а затем все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? (ЕГЭ, 2011, C3) ( x ) > 0. 3 log 2x 2 7x (ЕГЭ, 2011, C3) 3 log 11 (x 2 + 8x 9) 4 + log 11 (x 1) 3 x (ЕГЭ, 2011, C3) log 5 (x 2 5x) log 5 x (ЕГЭ, 2011, C6) Сумма двух натуральных чисел равна 43, а их наименьшее общее кратное в 120 раз больше их наибольшего общего делителя. Найдите эти числа (ЕГЭ, 2011, C6) Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 8 раз больше, либо в 8 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна а) Может ли последовательность состоять из двух членов? б) Может ли последовательность состоять из трех членов? в) Какое наибольшее число членов может быть в последовательности?

18 (ЕГЭ, 2011, C6) На доске написано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 4, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно 7. а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них? (ЕГЭ, 2012, C3) 2 3 x x 87, 1 log 3x 27 log 3 27x (ЕГЭ, 2012, C3) x 32 2 x ( 5, 6 x ) log 1. 0,25x (ЕГЭ, 2012, C6) Моток веревки режут без остатка на куски длиной не менее 168 см, но не больше 175 см (назовем такие куски стандартными). а) Некоторый моток веревки разрезали на 24 стандартных куска, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число одинаковых стандартных кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки? б) Найдите такое наименьшее число l, что любой моток веревки, длина которого больше l см, можно разрезать на стандартные куски? (ЕГЭ, 2012, C6) Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них смог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 2 11 от общего числа учащихся группы, сходивших в театр, а в кино мальчиков было не более 2 5 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

19 18 а) Mогло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся? б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что в группе было 20 учащихся? в) Какую наименьшую долю могли составить девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия а) и б)? Тренировочные задачи x = x x = x x = log 6 x = log log lg x = 7x Найдите сумму корней уравнения (2 2 x +1)(2 x 3)= Сколько целочисленных решений имеет неравенство 4 + 3x x tg 2 πx 0? Сколько целочисленных решений имеет неравенство 6 5x x log 2 0? Тест 3 x Сколько целочисленных решений имеет неравенство x x ? x В задачах вычислите значение выражений log log log log 5 11.

20 ( 7 log 6 7 )log log log 6 3, lg 125 lg 75 lg log 1 (3 3 18) + log 1 ( ) log 4 log Найдите координаты всех общих точек графиков функций f(x) = 27x x 1 и g(x) = 9x+0,5 + 3 x 3 x. 1 ( 1 ) log2 (x 2 1) log 0,1 (x 2 + x 2) log 0,1 (x + 3) x 2 4 log 1 (x 2 1) x log 2 x log (x 1) 3 8 3x log 3 ( (x + 2)(x + 4) ) + log 1 3 (x + 2) 1 2 log log 2(3x + 2) log 3 (2x + 3) 0. Тест log 2(2x 2 13x + 20) 1 log 3 (x + 7) log 2 x (x + 2) log x+3 (3 x) log 2 2x 3 1 3x 5 + log 2x 3(9x 2 30x+25)+7 2 log 2x 3 (6x x + 15) log x+2 ( x x 2 ) 1 16 log2 x+2(x 18) 2 2.

21 20 2 Тригонометрия Задачи из демоверсий 2.1. (ЕГЭ, 2002, B6) Вычислите 2 ( 5 ctg arcsin 2 ) (ЕГЭ, 2002, B3) Сколько решений имеет уравнение (cos 2 x sin 2 x) 1 x 2 = 0? 2.3. (ЕГЭ, 2003, B4) Найдите наименьшее значение функции y = 3 sin 2x cos x + cos 2x sin x (ЕГЭ, 2003, B5) Пусть x 0 наименьший положительный корень уравнения cos 2 x 5 sin x cos x + 2 = 0. Найдите tg x (ЕГЭ, 2004, B1) Тест Вычислите cos 15 (cos 50 sin 65 cos 65 sin 50 ) (ЕГЭ, 2005, B8) Найдите наибольшее целое значение функции y = 25 3 cos 4x cos 3x+sin 4x sin 3x (ЕГЭ, 2006, B1) Вычислите 3 sin( π 2 + α) 2 cos(π α), если α = 7π (ЕГЭ, 2007, B2) Вычислите 5 sin(π + α) + cos 2.9. (ЕГЭ, 2008, B1; 2006, B2) ( π 2 + α ), если sin α = 0,5. Вычислите 3 sin 2 α 7 cos 2 α, если cos α = 0, (ЕГЭ, 2008, B4) Вычислите log 2 sin π 12 + log 2 sin π 6 + log 2 sin 5π 12.

22 (ЕГЭ, 2009, B1) Вычислите cos α, если sin α = 4 5, и 0 < α < π (ЕГЭ, 2009, B3; 2006, B2) Вычислите 8 cos 2 α 2 sin 2 α, если sin α = 0, (ЕГЭ, 2002, C1) Найдите количество целых чисел, принадлежащих множеству sin x + cos x значений функции f(x) = 16 log (ЕГЭ, 2005, C1) sin x = sin x cos x (ЕГЭ, 2006, C1) 4 cos x ctg x + 4 ctg x + sin x = (ЕГЭ, 2007, C2) sin 2x tg x + 1 = 3 sin x (ЕГЭ, 2009, C2) Найдите все значения x, при каждом из которых выражения sin 2x 2 sin 4 x tg x и 2 2 cos 4 x 2 принимают равные значения. tg x (ЕГЭ, 2010, C1) < x 2 + 3x x 2 + 3x 1 = 7, 2 2 sin y = x (ЕГЭ, 2011, C1) 6 cos 2 x cos x 2 sin x = (ЕГЭ, 2012, C1) Решите уравнение 6 sin 2 x + cos x 5 = 0 и найдите корни, принадлежащие отрезку [ 2π; 3π ] (ЕГЭ, 2012, C1) ( π ) а) Решите уравнение cos 2x = 1 cos 1 x. б) Найдите все корни [ этого уравнения, принадлежащие промежутку 5π ) 2 ; π.

23 22 Задачи ЕГЭ (ЕГЭ, 2002, B6) ( π ( Вычислите 5 sin 2 + arcsin 3 ) ) (ЕГЭ, 2002, B6) ( Вычислите 3 tg arccos 3 ) (ЕГЭ, 2002, B6) Тест Вычислите ( 15 tg arcsin 1 ) (ЕГЭ, 2006, B2) Вычислите 5 21 sin α, если cos α = 21, π 2 α π (ЕГЭ, 2006, B2) Тест Вычислите 3 19 sin α, если cos α = 19, π α 3π (ЕГЭ, 2006, B2) Вычислите 2 sin 2 α + 6 cos 2 α, если sin α = 0, (ЕГЭ, 2006, B4) Вычислите 6 6 tg α cos(π + α), если sin α = (ЕГЭ, 2008, B3; 2006, B2) Вычислите 2 11 cos α, если sin α = 11, π 2 α π (ЕГЭ, 2008, B7) cos α Вычислите 7 cos(π α) 5 +8,3 +7cos α 2π при α= (ЕГЭ, 2009, B1) Вычислите tg α ctg α cos α 6, если cos α = 0, (ЕГЭ, 2009, B1) Вычислите 4 5 tg 2 x cos 2 x, если sin x = 0,2.

24 (ЕГЭ, 2009, B6) Вычислите 2 cos 2 π 10 ctg 11π 10 sin π (ЕГЭ, 2002, C1) 7 tg x + cos 2 x + 3 sin 2x = (ЕГЭ, 2002, C1) sin 2x + 1 = sin 2 x + 6 ctg x (ЕГЭ, 2002, C2) Найдите множество значений функции y = sin 2x, если x [arctg 0,5; arctg 3]. Тест (ЕГЭ, 2002, C2) Тест Найдите множество значений функции y = 3 π arccos ( 0,125(cos x sin x) ) (ЕГЭ, 2002, C2) Найдите множество значений функции y = sin 2x, если [ x arccos 0,8; 5π ] (ЕГЭ, 2002, C2) Найдите множество значений функции y = 12 ( 3 ) π arcsin 4 2 (sin x + cos x) 0, (ЕГЭ, 2005, C2) ( sin 3x 2 ) 2 9 sin 2 3x 24 sin 3x + 16 = (ЕГЭ, 2005, C2) (2 sin 2 ) 2 0,5x 6 sin 0,5x sin 0,5x 5 = 8.

28 3 Текстовые задачи Задачи из демоверсий 3.1. (ЕГЭ, 2003, B7) Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за увеличением прибыли он повысил цену на билеты на 25%. Количество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько процентов владелец дискотеки снизил новую цену билетов, чтобы она стала равна первоначальной? 3.2. (ЕГЭ, 2003, B8) Тест Студенческая бригада подрядилась выложить керамической плиткой пол в зале молодежного клуба площадью 288 м 2. Приобретая опыт, студенты в каждый последующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м 2 больше, чем в предыдущий, и запасов плитки им хватило ровно на 11 дней работы. Планируя, что производительность труда будет увеличиваться таким же образом, бригадир определил, что для завершения работы понадобится еще 5 дней. Сколько коробок с плитками ему надо заказать, если 1 коробки хватает на 1,2 м 2 пола, а для замены некачественных плиток понадобится 3 коробки? 3.3. (ЕГЭ, 2004, B7) Планируя выпуск нового электронного прибора, экономисты предприятия определили, что в первый месяц может быть изготовлено 200 приборов. Далее предполагалось ежемесячно увеличивать выпуск на 20 изделий. За сколько месяцев предприятие сможет изготовить по этому плану приборов? 3.4. (ЕГЭ, 2005, B9) Торговая база закупила у изготовителя партию альбомов и поставила ее магазину по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При распродаже в конце сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел альбом за 70,2 р.? 27

29 (ЕГЭ, 2006, B9) По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого года эти проценты капитализируются, т. е. начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счёт в рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течение 3 лет. Какой доход был получен по истечении этого срока? 3.6. (ЕГЭ, 2007, B9) Тест Денежный вклад в банк за год увеличивается на 11%. Вкладчик внес в банк 7000 рублей. В конце первого года он решил увеличить сумму вклада и продлить срок действия договора еще на год, чтобы в конце второго года иметь на счету не менее рублей. Какую наименьшую сумму необходимо дополнительно положить на счет по окончании первого года, чтобы при той же процентной ставке (11%) реализовать этот план? (Ответ округлите до целых.) 3.7. (ЕГЭ, 2008, B9) В комиссионном магазине цена товара, выставленного на продажу, ежемесячно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый месяц уменьшалась цена магнитофона, если, выставленный на продажу за 4000 рублей, после двух снижений он был продан за 2250 рублей (ЕГЭ, 2009, B9) Секретарю фирмы поручили разослать письма адресатам по списку. Секретарь, отдав своему помощнику часть списка, содержащую 80% адресатов, взял оставшуюся часть себе и разослал письма по своей части списка за время, в 6 раз меньшее, чем помощник по своей. Сколько процентов списка адресатов секретарь должен был сразу отдать помощнику (взяв себе остальные), чтобы они, работая с прежней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое время? 3.9. (ЕГЭ, 2009, B9) Объемы ежегодной добычи нефти первой, второй и третьей скважинами относятся как 6 : 7 : 10. Планируется уменьшить годовую

30 29 добычу нефти из первой скважины на 10% и из второй тоже на 10%. На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объем добываемой за год нефти не изменился? (ЕГЭ, , B1) Билет на автобус стоит 15 рублей. Объявлено повышение цены билета на 20%. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены? (ЕГЭ, 2010, B5) Строительная фирма планирует купить 70 м 3 пеноблоков у одного из трех поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешевую покупку с доставкой? (ЕГЭ, , B12) Тест Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй за три дня? (ЕГЭ, 2012, B10) В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

31 ( , B10, 2012, B12 демоверсии; ЕГЭ, 2011, B10) Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой h(t) = 5t 2 +18t, где h высота в метрах, t время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров (ЕГЭ, 2012, B13) Весной катер идёт против течения реки в раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч). Задачи ЕГЭ (ЕГЭ, 2006, B9) Два каменщика, работая вместе, могут выполнить задание за 12 ч. Производительности труда первого и второго каменщиков относятся как 1 : 3. Каменщики договорились работать поочередно. Сколько времени должен проработать первый каменщик, чтобы это задание было выполнено за 20 ч? (ЕГЭ, 2006, B9) Тест Отец с сыном должны вскопать огород. Производительность труда у отца в два раза больше, чем у сына. Работая вместе, они могут вскопать весь огород за 4 часа. Однако вместе они проработали только один час, потом некоторое время работал один сын, а заканчивал работу уже один отец. Сколько часов в общей сложности проработал на огороде отец, если вся работа на огороде была выполнена за 7 часов? (ЕГЭ, 2006, B9) Бак заполняют керосином за 2 часа 30 минут с помощью трех насосов, работающих вместе. Производительности насосов относятся как 3 : 5 : 8. Сколько процентов объема будет заполнено за 1 час 18 минут совместной работы второго и третьего насосов?

32 (ЕГЭ, 2008, B9) За 80 км до станции назначения поезд был задержан у семафора на 24 минуты. Затем машинист увеличил на 10 км/ч скорость, с которой поезд ехал до остановки, и поэтому поезд прибыл в пункт назначения по расписанию. С какой скоростью ехал поезд после остановки? (ЕГЭ, 2008, B9) Объемы ежегодной добычи угля первой, второй и третьей шахтами относятся как 1 : 2 : 4. Первая шахта планирует уменьшить годовую добычу угля на 8%, а вторая на 2%. На сколько процентов должна увеличить годовую добычу угля третья шахта, чтобы суммарный объем добываемого за год угля не изменился? (ЕГЭ, 2009, B9 досрочный) В разгар летнего сезона ягоды дешевеют на 30% по сравнению с началом сезона, а сахар дорожает на 20%, в результате чего приготовление варенья из ягод по определенному рецепту обходится на 10% дешевле. Сколько процентов от стоимости варенья (приготовляемого по тому же рецепту) составляет стоимость ягод в начале сезона? (ЕГЭ, 2009, B9) Зимой цена на говядину снизилась на 12,5% по сравнению с осенью. На сколько процентов больше нужно продать говядины зимой, чтобы выручка от ее продажи увеличилась на 5% по сравнению с осенью? (ЕГЭ, 2010, B1) Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 400 рублей после повышения цены на 20%? (ЕГЭ, 2010, B1) Тетрадь стоит 20 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 550 рублей после понижения цены на 25%?

33 (ЕГЭ, 2010, B5) Для изготовления книжных полок требуется заказать 40 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,25 м 2. В таблице приведены цены на стекло, а также на резку стекла и шлифовку края. Сколько рублей будет стоить самый дешевый заказ? (ЕГЭ, 2010, B5) Строительной фирме нужно приобрести 70 кубометров пенобетона у одного из трех поставщиков. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую покупку с доставкой? Цены и условия приведены в таблице (ЕГЭ, 2010, B10) Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса на продукцию q (единиц в месяц) от ее цены p (тыс. руб.) задается формулой: q = 65 5p. Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q p составит не менее 110 тыс. руб (ЕГЭ, 2010, B12) Баржа в 10:00 вышла из пункта A в пункт B, расположенный в 15 км от A. Пробыв в пункте B 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт A в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 6 км/ч.

34 (ЕГЭ, 2010, B12) Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. За час мотоциклист проезжает на 50 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 5 часов позже мотоциклиста. Ответ дайте в км/ч (ЕГЭ, 2011, B10) Тест В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону m(t) = m 0 2 t T, где m 0 (мг) начальная масса изотопа, t (мин.) время, прошедшее от начального момента, T (мин.) период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа m 0 = 100 мг. Период его полураспада T = 2 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг? (ЕГЭ, 2012, B10) В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 6 из Венгрии, 21 из Румынии, остальные из Болгарии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Болгарии (ЕГЭ, 2012, B10) В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 10 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает (ЕГЭ, 2012, B12) Тест Зависимость объема спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задается формулой: q = 55 5p. Выручка предприятия за месяц r (тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = pq. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит 90 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб (ЕГЭ, 2012, B13) Тест На изготовление 720 деталей первый рабочий затрачивает на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 840 деталей. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

35 (ЕГЭ, 2012, B13) Тест Заказ на 247 деталей первый рабочий выполняет на 6 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 6 деталей больше? Тренировочные задачи Велосипедист рассчитывает попасть на станцию, расположенную в 42 км, к приходу поезда. Через 3 ч после отправления он сделал остановку на 10 мин, а затем увеличил первоначальную скорость на 1 км/ч и приехал на станцию к приходу поезда. С какой скоростью ехал велосипедист после остановки? Подарочный набор состоит из трех сортов конфет. Массы конфет первого, второго и третьего сорта в этом наборе относятся как 1 : 2 : 8. Массу конфет первого сорта увеличили на 20%, а второго на 6%. На сколько % надо уменьшить массу конфет третьего сорта, чтобы масса всего набора не изменилась? Тест Двум операторам поручили набрать на компьютере текст книги объемом 315 страниц. Один оператор, отдав второму 144 страницы книги, взял остальные страницы себе. Первый выполнил свою работу за 19 дней, а второй свою за 12. На сколько процентов нужно было увеличить часть работы второго оператора (уменьшив часть работы первого), чтобы они, работая с прежней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое число дней? Велосипедист каждую минуту проезжает на 800 м меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь в 30 км он затратил времени на 2 ч больше, чем мотоциклист. Сколько километров в час проезжал мотоциклист? Тест Расстояние между пристанями А и В по реке равно 36 км. Из А в В отплыл плот, а из В в А спустя 8 часов отошла лодка. В пункты назначения они прибыли одновременно. Какова скорость плота, если собственная скорость лодки 12 км в час?

36 За 200 км до станции назначения поезд был задержан у семафора на час. Затем машинист увеличил на 10 км/ч скорость, с которой поезд ехал до остановки, и поэтому поезд прибыл в пункт назначения по расписанию. С какой скоростью ехал поезд после остановки? По истечении года банк начислил к сумме вклада 20%. Вкладчик после этого прибавил к вкладу 15% от получившейся суммы. Обе операции повторились и год спустя. После этого он заметил, что если добавить еще 3824 рубля, получится сумма, вдвое превышающая первоначальный вклад. Какая сумма была положена в банк первоначально? На заводе изготовили сплав из золота, серебра и платины в пропорциях 3, 12 и 6 соответственно общей массой m. В него добавили ещё золота в количестве 10% от имеющегося серебра, после чего отлили 2 3 сплава, а к оставшейся части добавили платину в количестве 20% от количества золота в первоначальном сплаве. Какова концентрация серебра в получившемся сплаве? Масса первого сплава на 3 кг больше массы второго сплава. Первый сплав содержит 10% цинка, второй 40% цинка. Новый сплав, полученный из двух первоначальных, содержит 20% цинка. Определи массу нового сплава Расстояние между пристанями A и B равно 72 км (по реке). От пристани A в сторону пристани B отправился плот. Спустя 12 ч от пристани B навстречу плоту вышла моторная лодка, собственная скорость которой равна 16 км/ч. Найдите скорость плота, если к пристаням A и B плот и лодка прибыли одновременно. Тест Карандаш стоит 5 руб. 40 коп. Какое наибольшее число карандашей можно купить на 40 рублей? От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на маршрутном такси, выйдя на конечной остановке. В таблице приведено время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу от дома до дачи? Ответ дайте в часах.

37 Поставщик газа может заключить договор на транзит своего газа до клиента через любой из трех газопроводов: Южный, Центральный или Восточный. Длина Южного газопровода равна 350 километрам, длина Центрального газопровода равна 400 километрам, а длина Восточного газопровода равна 330 километрам. Транспортировка 1000 кубометров газа на 100 километров по Южному газопроводу стоит 11 долларов, по Центральному газопроводу 9,5 долларов, по Восточному газопроводу 12 долларов. Сколько долларов придется заплатить за самый выгодный транзит 1,5 миллионов кубометров газа? Двое решают, как им обойдется дешевле доехать из Москвы в Санкт-Петербург на поезде или в автомобиле. Билет на поезд стоит 540 рублей на одного человека. Автомобиль расходует 6 литров бензина на 100 км пути, расстояние по шоссе равно 700 километрам, а цена бензина равна 18 рублям за литр. Сколько рублей придется заплатить за наиболее дешевую поездку на двоих? В электросеть включён предохранитель, рассчитанный на силу тока 20 A. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Сила тока в цепи I связана с напряжением U соотношением I = U R, где R сопротивление электроприбора. (Ответ выразите в омах.) Масса радиоактивного вещества уменьшается по закону m(t) = m 0 2 t T. В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени m 0 = 12 мг изотопа натрия-24, период полураспада которого равен T = 15 ч. В течение скольких часов содержание натрия-24 в веществе будет превосходить 3 мг?

38 При температуре 0 C рельс имеет длину l 0 = 20 метров. При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 9 мм. При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону l(t ) = l 0 (1 + α t ), где α = 1, (C ) 1 коэффициент теплового расширения, t 0 температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? (Ответ выразите в градусах Цельсия.) Из пункта A в пункт B вышел пешеход, движущийся со скоростью 6 км/ч. Одновременно навстречу ему из пункта B в пункт A вышел второй пешеход, движущийся со скоростью 4 км/ч. Расстояние между пунктами A и B равно 15 км. Через сколько часов пешеходы встретятся? Города A, B и C соединены прямолинейным шоссе, причем город B расположен между городами A и C. Из города A в сторону города C выехал легковой автомобиль, движущийся со скоростью 60 км/ч, и одновременно с ним из города B в сторону города C выехал грузовик, движущийся со скоростью 40 км/ч. Через сколько часов после выезда легковой автомобиль догонит грузовик, если расстояние между городами A и B равно 80 км? Моторная лодка прошла против течения 24 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 20 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость (в км/ч) лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч Цена телевизора в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена телевизора, если выставленный на продажу за 8000 рублей, он через два года был продан за 6480 рублей Смешав 70%-й и 60%-й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50%-й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90%-го раствора той же кислоты, то получили бы 70%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 70%- го раствора использовали для получения смеси? Тест

39 38 4 Производные Задания на на исследование функций встречаются во всех частях ЕГЭ. Исследование функций проводится элементарными методами или с помощью производных. Решения заданий в группе A требуют применения стандартного алгоритма. Задания групп B и C отличаются более сложной формулой, задающей функцию, и их решение требует применения некоторых утверждений из математического анализа. Теоретические сведения Нахождение производной данной функции называют дифференцированием. Для нахождения производной используют формулы дифференцирования и правила дифференцирования. Таблица производных простейших функций (ax + c) = a (sin x) = cos x (x a ) = ax a 1 (cos x) = sin x (e x ) = e x (tg x) = 1 cos 2 x (a x ) = a x ln a (ctg x) = 1 sin 2 x (ln x) = 1 (log x a x) = 1 x ln a Таблица производных сложных функций (f a ) = af a 1 f (sin f) = cos f f (e f ) = e f f (cos f) = sin f f (a f ) = a f f ln a (tg f) = f cos 2 f (ln f) = f (ctg f) = f f sin 2 f (log a f) = f f ln a Правила дифференцирования 1. Дифференцирование суммы: (f + g) = f + g. 2. Дифференцирование произведения: (fg) = f g + fg. ( f ) f g fg 3. Дифференцирование частного: = g g Производная сложной функции: ( g(f) ) = g (f) f.

40 39 Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции Существование производной функции f в точке x 0 эквивалентно существованию (невертикальной) касательной y = kx + b в точке (x 0, f(x 0 )) к графику f. При этом тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ox (угловой коэффициент касательной) равен k: tg α = k = f (x 0 ). Уравнение касательной к графику функции f в точке (x 0, f(x 0 )) имеет вид: y = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ). Механический смысл производной Если материальная точка движется по координатной прямой, причем задан закон движения, т. е. координата x этой точки есть известная функция x(t) времени t, то мгновенная скорость v(t) определена для любой дифференцируемой функции x(t), при этом v(t) = x (t). Механический смысл производной состоит в том, что производная от координаты по времени есть скорость. Аналогично и с ускорением движения: a = v (t), т. е. производная от скорости по времени есть ускорение. Применение производной к исследованию функции Признак возрастания функции. Если f (x) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на интервале I. Признак убывания функции. Если f (x) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на интервале I. Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности функции. Критические точки функции, максимумы и минимумы Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками. Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке x 0, a f (x) > 0 на интервале (a; x 0 ) и f (x) < 0 на интервале (x 0 ; b), то точка x 0 является точкой максимума функции. Иными словами, если в точке x 0 производная функции f меняет знак с плюса на минус, то x 0 есть точка максимума функции f.

41 40 Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке x 0, а f (x) < 0 на интервале (a; x 0 ) и f (x) > 0 на интервале (x 0 ; b), то точка x 0 является точкой минимума функции. Иными словами, если в точке x 0 производная функции f меняет знак с минуса на плюс, то x 0 есть точка минимума функции f. Точки максимума и минимума называют точками экстремума. Значения функции в этих точках называют соответственно максимумами и минимумами функции (общее название экстремум функции). Задачи из демоверсий 4.1. (ЕГЭ, 2002, A11) Тест Найдите значение производной функции y = x 18 в точке x 0 = 3. x 4.2. (ЕГЭ, 2002, B1) Найдите минимум функции f(x) = 1 3 x x2 1 2 x (ЕГЭ, 2002, B7) Найдите наименьшее значение функции g(x) = log 1 4 (4 x 2 ) (ЕГЭ, 2003, A14) Найдите значение производной функции y = xe x в точке x 0 = (ЕГЭ, 2003, A16) При движении тела по прямой расстояние S (в метрах) от начальной точки движения изменяется по закону S(t) = t3 3 t2 + t 1 (t время движения в секундах). Найдите скорость (м/с) тела через 4 секунды после начала движения (ЕГЭ, 2004, A9) Вычислите значение производной функции y = sin x 2x в точке x 0 = 0.

42 (ЕГЭ, 2004, A14) Через точку графика функции y = e x x 2 с абсциссой x 0 = 1 проведена касательная. Найдите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс (ЕГЭ, 2004, B5) Найдите наибольшее значение функции y = 40 2 x на проме- + 3x жутке [1; 7] (ЕГЭ, 2005, A6) Найдите производную функции y = e x + 3x (ЕГЭ, 2005, B3) Тест Точка движется по координатной прямой согласно закону x(t) = t 2 + t + 2, где x(t) координата точки в момент времени t (время измеряется в секундах, расстояние в метрах). В какой момент времени скорость точки будет равна 5 м/с? (ЕГЭ, 2006, A6) Укажите наибольшее значение функции y = 1 cos 3x (ЕГЭ, 2006, B6) Найдите наибольшее значение функции y = 2,7 e 3x2 x 3 4 на отрезке [1; 3] (ЕГЭ, 2007, A5) Найдите производную функции y = (x 3) cos x (ЕГЭ, 2008, A5) Найдите производную функции y = x 6 4 sin x (ЕГЭ, 2008, B5) Прямая, проходящая через начало координат, является касательной к графику функции y = f(x) в точке A( 7, 14). Найдите f ( 7).

43 (ЕГЭ, 2009, A5) Найдите производную функции y = 12x 3 e x из указанного списка: 1) y = 15x 2 xe x 1 ; 2) y = 3x 2 ex x + 1 ; 3) y = 36x2 xe x 1 ; 4) y = 36x 2 e x (ЕГЭ, 2009, A5) Найдите производную функции h(x) = e x 4x 2 из указанного списка: 1) h (x) = e x 4 3 x3 ; 2) h (x) = e x 8x; 3) h (x) = e x 2x; 4) h (x) = e x 4x (ЕГЭ, 2009, B11) Найдите наименьшее значение функции y = x 3 12x+3 на отрезке [ 1; 3] (ЕГЭ, , B11; 2012, B14) Найдите наибольшее значение функции y = 2 cos x + 3 π [ 3x на отрезке 0; π ] (ЕГЭ, 2004, C2) Стороны прямоугольника равны 2 и 5. Через каждую точку на его меньшей стороне провели прямую, отсекающую прямоугольный треугольник с периметром 8. Найдите наименьшее значение площади оставшейся части прямоугольника (ЕГЭ, 2006, C3) Для монтажа оборудования необходима подставка объёмом 1296 дм 3 в форме прямоугольного параллелепипеда. Квадратное основание подставки будет вмонтировано в пол, а её задняя стенка в стену цеха. Для соединения подставки по рёбрам, не вмонтированным в пол или стену, используется сварка. Определите размеры подставки, при которых общая длина сварочного шва будет наименьшей (ЕГЭ, 2007, C1) Найдите значение функции f(x) = 10 lg x3 3x x+5 log 0,1(x + 5) в точке максимума.

44 (ЕГЭ, 2008, C1) Найдите наибольшее значение функции f(x) = 1 x x 2 + x 3 3x (ЕГЭ, 2009, C1 демоверсия; 2005, C2) Найдите наибольшее значение функции f(x) = x(2x 3) 6 при x 1,5 0, (ЕГЭ, 2009, C1) Найдите наименьшее значение функции f(x) = x 5,5 2,5. 2x x при Задачи ЕГЭ (ЕГЭ, 2010, B11) Найдите[ наибольшее значение функции y = 2x 2 tg x 5 на отрезке 0; π ] (ЕГЭ, 2010, B11) Найдите наименьшее значение функции y = 2 sin x + 24 [ π x + 5 на отрезке 5π ] 6 ; (ЕГЭ, 2011, B11) Тест Найдите наименьшее значение функции y = x 3 9x x 4 на отрезке [3; 6] (ЕГЭ, 2012, B14) Тест Найдите наибольшее значение функции y = (x + 9) 2 (x + 6) 5 на отрезке [ 10; 8] (ЕГЭ, 2012, B14) Тест Найдите наименьшее значение функции y = (x 1) 2 (x + 3) + 4 на отрезке [0; 8].

45 (ЕГЭ, 2004, C2) Тест Точка A лежит на графике функции y = f(x), точка B на оси Ox, и ее абсцисса в четыре раза больше ординаты точки A. Найдите наибольшее значение площади треугольника AOB, где точка O начало координат и f(x) = sin x (3x + 1) cos x, 3π 4 x 9π (ЕГЭ, 2004, C2) Тест Найдите наименьшее значение периметра прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат, и с диагональю OM, где O начало координат, а M точка на графике функции y = 1 3 ln(0,25x 2), 9 x 11, (ЕГЭ, 2004, C2) Найдите наибольшее значение площади треугольника OP K, где O начало координат, P точка на графике функции y = 64x 5 e 6 4x + 5 x, 0,7 x 2, а K точка на оси Ox, абсцисса которой равна абсциссе точки P (ЕГЭ, 2006, C3) Требуется разметить на земле участок ABCDEF GH площадью 1800 м 2, состоящий из трех прямоугольных частей и имеющий форму, изображенную на рисунке, где F G = EF = 10 м, BC = 15 м и CD 40 м. Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин KL, LH и CD, при которых периметр является наименьшим.

46 (ЕГЭ, 2006, C3) Тест Требуется разметить на земле участок площадью 3700 м 2, состоящий из трех прямоугольных частей и имеющий форму многоугольника ABCDEF GH, изображенного на рисунке, где BC = 25 м, DE = 40 м, EF = 30 м и CD 30 м. Найдите наименьший периметр такого участка и укажите какие-нибудь значения длин KG, KA и CD, при которых его периметр является наименьшим (ЕГЭ, 2007, C1) Тест Найдите точки максимума функции f(x) = 48x 2 3x 4 9x 3 + 0,1 lg (x3 +8) (ЕГЭ, 2007, C1) Найдите точки минимума функции f(x) = 3x 4 + 3x 3 72x log 0,5 (x3 +8) (ЕГЭ, 2007, C1) Найдите точки минимума функции f(x) = ( 6 1 x + 7 ) 2 4x x x + 0,5x (ЕГЭ, 2007, C1) Найдите точки максимума функции f(x) = 6 6 sin2 (πx) cos 2 x 2 + 2x 3 15x 4. (πx)

47 (ЕГЭ, 2007, C1) Тест Найдите точки минимума функции f(x) = 15x 4 26x cos2 (πx) sin 2 x 2. (πx) (ЕГЭ, 2008, C1) Найдите наименьшее значение функции f(x) = ( 2x + 4 ) 5 4 ( 2x + 4 ) 4 при x (ЕГЭ, 2008, C1) Найдите наименьшее значение функции f(x) = при x + 3,5 2,5. 5x x (ЕГЭ, 2008, C1) Найдите наибольшее значение функции f(x) = 0,25(x 3)(x + 3)(x 2 + 9) 2x 2 при x 1,5 1, (ЕГЭ, 2009, C1) Найдите абсциссы всех точек графика функции 25 x2 f(x) = 5 + x 1 3 x3, касательные в которых параллельны прямой y = 26x или совпадают с ней (ЕГЭ, 2009, C1) Найдите абсциссы всех точек графика функции f(x) = x3 3 4log 4 (5 x), касательные в которых параллельны прямой y = 37x или совпадают с ней (ЕГЭ, 2009, C2 досрочный) В точке D(x, y) графика функции y = x + 4x 2 проведена касательная к графику функции, параллельная оси абсцисс. Найдите координаты точки D (ЕГЭ, 2009, C1) Найдите абсциссы всех точек графика функции f(x) = x2 4 x + 2 2x3, касательные в которых параллельны прямой y = 23x или совпадают с ней.

48 47 Тренировочные задачи Найдите производную функции: a) y = 9 9x x5 ; b) y = 3x 2 cos x; c) y = e x 2x 2 ; d) y = e x (1 + sin x) Найдите производную функции: a) y = 8 5x x6 ; b) y = 5x 2 sin x; c) y = 3,6x 2 cos x; d) y = e x x 7 ; e) y = e x sin x; f) y = x 12 + sin x Найдите значение производной функции: a) f(x) = 1 4x 2x + 1 в точке x 0 = 1; b) f(x) = x3 27 x 2 +3x+9 (x 0 = 2005); c) f(x) = (x 2 + 1) 2 2(x 2 + 1) + 1 (x 0 = 2); d) f(t) = cos t + tg t (t 0 = π); e) f(x) = (x + 1)(x 5 x 4 + x 3 x 2 + x 1) (x 0 = 1) Найдите значение производной функции: a) f(x) = x 2 + sin x в точке x 0 = π; b) f(x) = ln x 2 cos x (x 0 = 1); c) f(x) = 5 x + 4ex (x 0 = 1); d) f(x) = x x 1 (x 0 = 0); e) f(x) = 2 x + 16 x (x 0 = 4); f) f(x) = x + e 2x (x 0 = 0) Решите уравнение f (x) = 0, если f(x)=(3x 2 +1)(3x 2 1) Укажите число целых решений неравенства f (x) 0, если f(x) = x x3. Тест Точка движется по координатной прямой согласно закону x(t) = 4 + 2t e 4 t, где x(t) координата точки в момент времени t. Найдите скорость точки при t = Точка движется по координатной прямой согласно закону a) x(t) = 3 + 2t + t 2, где x(t) координата точки в момент времени t. В какой момент времени скорость точки будет равна 5? b) x(t) = 0,5t 2 3t + 5. В какой момент времени скорость точки будет равна 9? Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции a) y = 0,5x 2 в его точке с абсциссой x 0 = 3; b) y = 4 x в его точке с абсциссой x 0 = 2.

49 Найдите угловой коэффициент касательной, к графику функции: a) f(x) = 3x 2 cos x в его точке с абсциссой x 0 = 0; b) f(x) = 3x 4 ln x (x 0 = 2); c) f(x) = 2x + e x (x 0 = 0); d) f(x) = 2 x 2 + 3x 4 (x 0 = 1) Найдите угловой коэффициент касательной, к графику функции: a) f(x) = 3 sin x + 12x в его точке с абсциссой x 0 = π 2 ; b) f(x) = 7x 5 ln x (x 0 = 1); c) f(x) = 3 + 2x x 2 (x 0 = 1); d) f(x) = 9x 4x 3 (x 0 = 1); e) f(x) = x 5 5x 2 3 (x 0 = 1); f) f(x) = x 3 +3x 2 +8x 5 (x 0 = 2); g) f(x) = (x 1) 2 (x+1) 2 (x 2 +1) 2 (x 0 = 1); h) f(x) = 1 2x 4x + 1 (x 0 = 0,5); i) f(x) = 2 sin x 3 ctg x ( x 0 = π ) Какой угол образует с осью абсцисс касательная к графику функции f(x) = x 5 x в начале координат? В ответе запишите градусную меру этого угла. Тест Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x 2 +2x, параллельной прямой y = 4x 5. В ответе укажите площадь треугольника, образованного этой касательной и осями координат Напишите уравнение касательной к графику функции y = x 2 4x, параллельной оси абсцисс. В ответе укажите расстояние от точки (0, 0) до этой касательной Напишите уравнение касательной к графику функции y = e 2x x+2005, образующей с осями координат равнобедренный прямоугольный треугольник При каком значении a прямая y = 10x + a является касательной к параболе f(x) = 3x 2 4x 2? Тест Укажите точку графика функции f(x) = x 2 + 4x, в которой касательная параллельна прямой y 2x + 5 = 0. В ответе укажите сумму координат этой точки.

50 Через точку M( 1, 0) к графику функции f(x) = 2x 1 проведена касательная. Напишите ее уравнение. В ответе укажите градусную меру угла между касательной и положительным направлением оси Ox Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции y = f(x) в точке B( 6, 6). Найдите f ( 6) Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции y = φ(x) в точке O(4, 8). Найдите φ (4) Найдите тангенс угла наклона ( касательной, проведенной к графику функции f(x) = 2 cos 3x + π ) в точке с абсциссой 6 x 0 = π Найдите точку графика функции f(x) = (x 1) (x x x + 1), касательная в которой параллельна оси абсцисс. В ответе укажите сумму координат этой точки При каких значениях a прямая y = a пересекает график функции y = x 3 3x 2 в единственной точке? Тест Найдите наименьший из возможных углов, образующий с положительным направлением оси абсцисс касательной к графику функции f(x) = 4 3 x3 2x 2 + 2x + 1. В ответе запишите его градусную меру Определите размеры бассейна с квадратным дном и объемом 32 м 3 таким образом, чтобы сумма площади боковой поверхности и площади дна была минимальной. В ответе укажите площадь боковой поверхности. Тест Найдите промежутки убывания функции f(x) = 5x + 4 sin x Найдите множество значений функции h(x) = 2 x x Найдите наибольшее значение функции f(x) = 0,25x x + 1 x x2 + ( 1 x 2) 2.

51 Найдите наибольшее значение функции f(x) = 4 x x 2 + x 3 4,5x Найдите наибольшее значение функции f(x) = (3x+2) 3 ( x + 2) на промежутке ( ; 1] Найдите наибольшее значение функции f(x) = (1 5x) 3 (3x 1) на промежутке [1; + ). Тест Найдите наибольшее значение функции f(x) = (2x 1) 3 ( 0,4x + 1) Найдите наименьшее значение функции f(x) = (x 2 + 2x 3) Функция f(x) = (x 3)(2x 1) 4 определена на промежутке [1; 3]. Найдите множество ее значений Найдите наименьшее значение функции f(x) = 4(9x 2 + 3x 2) 2 при 3x Найдите множество значений функции g(x) = 2 x x Найдите наименьшее значение функции 1 f(x) =. 2x + 1 2x Найдите множество значений функции g(x) = 4 cos x 4 4 cos x + 5. Тест Найдите [ наибольшее значение функции y = 3 tg x 3x+5 на отрезке π ] 4 ; Найдите наименьшее значение функции y = (x 7)e x 6 на отрезке [5; 7] Найдите наибольшее значение функции y = ln(x + 5) 5 5x на отрезке [ 4,5; 0].

52 51 5 Исследование функций Задачи из демоверсий 5.1. (ЕГЭ, 2003, B2) Тест Функция y = f(x) задана на отрезке [a; b]. На рисунке изображен график ее производной y = f(x). Исследуйте на монотонность функцию y = f (x). В ответе укажите количество промежутков, на которых функция возрастает (ЕГЭ, 2004, B4) Тест Функция y = f(x) определена на промежутке ( 3; 7). График ее производной изображен на рисунке. Укажите число точек минимума функции y = f(x) на промежутке ( 3; 7) (ЕГЭ, 2005, B5) Функция y = f(x) определена на промежутке ( 6; 4). График ее производной изображен на рисунке. Укажите точку минимума функции y = f(x) на этом промежутке.

53 (ЕГЭ, 2006, B5) Функция y = f(x) определена на промежутке ( 3; 7). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку x 0, в которой функция y = f(x) принимает наибольшее значение (ЕГЭ, 2006, B7) Решите уравнение 0,2 x+1 = x. В ответе запишите корень уравнения или сумму корней, если их несколько (ЕГЭ, 2006, B8) Нечетная функция y = f(x) определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной x значение этой функции совпадает со значением функции g(x) = x(2x + 1) (x 2)(x 3). Сколько корней имеет уравнение f(x) = 0? 5.7. (ЕГЭ, 2007, B5) Тест Функция y = f(x) определена на промежутке ( 4; 5). На рисунке изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции y = f(x), которые наклонены под углом в 45 к положительному направлению оси абсцисс (ЕГЭ, 2007, B8) Периодическая функция y = f(x) определена для всех действительных чисел. Её период равен 2 и f(1) = 5. Найдите значение выражения 3f(7) 4f( 3). Тест

54 (ЕГЭ, 2008, B7) ( 2 cos Решите уравнение 25x 2 5πx )( 2+cos 5πx ) 20x+6 =. 4 4 (Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите сумму всех его корней) (ЕГЭ, 2008, B8) Функция y = f(x) определена на всей числовой прямой и является четной периодической функцией с периодом, равным 6. На отрезке [0; 3] функция задана формулой f(x) = 2+2x x 2. Определите количество нулей этой функции на отрезке [ 5; 4] (ЕГЭ, 2009, B2) На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной в точке x (ЕГЭ, 2009, B5 1-я демоверсия) Функция y = f(x) определена на промежутке ( 6; 3). На рисунке изображен график ее производной. Укажите точку максимума функции y = f(x) на промежутке ( 6; 3).

55 (ЕГЭ, 2009, B5 2-я демоверсия) Функция y = f(x) определена на промежутке ( 2; 7). На рисунке изображен график ее производной. Укажите точку минимума функции y = f(x) на промежутке ( 2; 7) (ЕГЭ, 2009, B7 2-я демоверсия) Функция y = f(x) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 3. На рисунке изображен график этой функции при 2 x 1. Найдите значение выражения f( 1) f(9). f( 2) (ЕГЭ, 2009, B8 1-я демоверсия) Функция y = f(x) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 6. При 2 x < 4 она задается формулой f(x) = x 2 3. Найдите значение выражения 4f(11) 2f( 15) (ЕГЭ, 2010, B2) На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат значение температуры в градусах. Определите по графику наибольшую температуру воздуха 15 августа.

56 (ЕГЭ, 2010, B8) На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к этому графику в точке с абсциссой, равной 3. Найдите значение производной этой функции в точке x = (ЕГЭ, 2002, C3) При каком x значение выражения ( ( x+2 x 1 2 ) ( : ) ) ) x x :( x+2 x + x x+2 ближе всего к 73? (ЕГЭ, 2006, C5) Шесть чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Первый, второй и четвертый члены ( этой прогрессии являются решениями неравенства log 0,5x 1 x 11 ) log 4 0, а остальные не являются решениями этого неравенства. Найдите множе- x 8 ство всех возможных значений первого члена таких прогрессий (ЕГЭ, 2007, C5) Найдите количество всех решений системы уравнений y(1 x) 2 + x 3 = 0, 2x 10 x log y 2 = 5 log 32(0,125y 2 ) (ЕГЭ, 2008, C5) Решите уравнение f(g(x)) + g(3 + f(x)) = 30, если известно, что 25 при x 4, f(x) = 0,5x 4 4x + 5 и g(x) = 2 x + 9 при x < 4. 5 x (ЕГЭ, 2009, C3) Найдите все значения x > 1, при каждом из которых наибольшее из двух чисел a = log 2 x + 2 log x 32 2 и b = 41 log 2 2 x 2 больше 5.

57 56 Задачи ЕГЭ (ЕГЭ, 2006, B5) Функция y = f(x) определена на промежутке ( 3; 6). На рисунке изображен график ее производной. Укажите точку максимума функции y = f(x) на промежутке ( 3; 6) (ЕГЭ, 2006, B6) Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции y = 81 x 2 на отрезке [ 3 5; 4 2] (ЕГЭ, 2006, B6) Тест Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции y = 2,5 log 1 (3 x 2 ) на отрезке [ 1; 2] (ЕГЭ, 2006, B7) Решите уравнение 2 ( 2 cos 15πx)( 2+cos 15πx) = 4 + (10x + 1) (ЕГЭ, 2006, B7) Решите уравнение 16 (4x + 5) 2 = 4 + cos 2 2πx (ЕГЭ, 2006, B8) Четная функция f(x) определена на всей числовой прямой. Для функции g(x) = x + (x 11)f(x 11) + 11 вычислите сумму g(9) + g(11) + g(13) (ЕГЭ, 2006, B8) Тест Четная функция y = f(x) определена на всей числовой прямой. f(x 3,5) Для функции g(x) = 0,8+ вычислите сумму g(3) + g(4). x 3,5