Проверка гипотезы о виде распределения
Пример . Имеются следующие данные о количестве заявок на автомобили технической помощи по дням. Помимо общего задания, требуется построить теоретическую кривую нормального распределения и проверить соответствие эмпирического и теоретического распределений по критерию Пирсона. Скачать решение
- Провести группировку данных. Число интервалов k вычислить по формуле (10*n) 1/3 , где n – объем выборки. Записать сгруппирированный статистический ряд распределения выборки.
- Построить гистограмму относительных частот и выдвинуть гипотезу о законе распределения изучаемого признака Х.
- Провести проверку нулевой гипотезы, используя χ 2 - критерий Пирсона при уровне значимости α=0.05. После принятия гипотезы построить график плотности распределения.
Показатели центра распределения. Средняя взвешенная
Показатели вариации. Абсолютные показатели вариации. Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда. R = Xmax - Xmin R = 11 - (-5) = 16 Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).
Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии.
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 4.82 не более, чем на 3.01 Оценка среднеквадратического отклонения.
Проверка гипотез о виде распределения. 1. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.
где pi — вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону Для вычисления вероятностей pi применим формулу и таблицу функции Лапласа Интервалы группировки Наблюдаемая частота ni Ф(xi) Ф(xi+1) Вероятность pi попадания в i-й интервал Ожидаемая частота npi Слагаемые статистики Пирсона Ki -5 - -3,4 1 0.5 0.5 0,00276 0.28 1.9 -3,4 - -1,8 2 0.49 0.5 0,0108 1.08 0.78 -1,8 - -0,2 2 0.45 0.49 0,0336 3.36 0.55 -0,2 - 1,4 5 0.37 0.45 0,0796 7.96 1.1 1,4 - 3 20 0.23 0.37 0,14 14.38 2.2 3 - 4,6 10 0.0319 0.23 0,2 19.72 4.79 4,6 - 6,2 31 0.18 0.0319 0,15 14.53 18.67 6,2 - 7,8 11 0.34 0.18 0,16 16.17 1.65 7,8 - 9,4 12 0.44 0.34 0,0968 9.68 0.56 9,4 - 11 6 0.48 0.44 0,0446 4.46 0.53 100 32.73 Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы. Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kkp;+∞). Её границу Kkp = χ 2 (k-r-1;α) находим по таблицам распределения «хи-квадрат» и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры xcp и s оценены по выборке). Kkp = 14.06714; Kнабл = 32.73 Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область: Кнабл > Kkp, поэтому есть основания отвергать основную гипотезу. Данные выборки распределены не по нормальному закону.Пример 1. Нормальным или гауссовым распределением называется непрерывное распределение, плотность которого имеет вид
φ(x)– функция Гаусса (таблица), Параметры a и σ имеют смысл математического ожидания и среднего квадратичного отклонения.
2. Справедливы формулы:
Ф(x)– интеграл вероятностей, таблица. Обратим внимание, что Ф(-x)=–Ф(x), Ф(x)=0.5 при x>5.
3. Правило трех сигм: P(|X-a|>3ε)=0.0027 – т.е. вероятность отклонения нормально распределенной величины от математического ожидания более чем на 3σ практически равна нулю. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов распределения, состоит в том, что он является предельным, к которому приближаются другие законы при весьма часто встречающихся условиях.
Наиболее часто встречающееся значение ряда – 6.16 Медиана Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина — больше
Остальные 25% превосходят 6.26 Децили (децентили) Децили – это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 10% единиц совокупности будут меньше по величине D1; 80% будут заключены между D1 и D9; остальные 10% превосходят D9
Таким образом, что 10% единиц совокупности будут меньше по величине 5.76
Остальные 10% превосходят 6.43 Показатели вариации. Размах вариации R = X max - X min R = 6.65 - 5.59 = 1.06 Среднее линейное отклонение
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 6.08 не более, чем на 0.25 Коэффициент вариации
Поскольку v<30%, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять Показатели формы распределения. Коэффициент осцилляции
Ex > 0 - островершинное распределение Интервальное оценивание центра генеральной совокупности Доверительный интервал для генерального среднего
Пример . Длина переднего рога у африканского белого носорога описывается случайной величиной X, распределенной по нормальному закону с параметрами a=1,8 и σ 2 =1. Найти математическое ожидание M(5X-0,8). см. примеры проверки гипотезы о нормальном распределении.