Алгебра – ОГЭ. Задания с решением
Разбор задания №4 на тему: "Решение уравнений различного типа"
Дополнительные материалы Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Задание №4 требует умение решать уравнения различного типа. Ребята, вы должны хорошо усвоить методы правильного решения квадратных уравнений, дробно-рациональных уравнений, обычных линейных уравнений. Также вы должны хорошо уметь производить действия с многочленами: умножение и деление многочлена на многочлен. Вам понадобиться умение выбирать корни уравнения, которые входят в область решения и определять, какие корни надо выбросить и не учитывать?
Уроки которые помогут вам при подготовке данного задания:Перейдем к разбору примеров решения.
Пример 1. Найдите корни уравнения: $16x^2-1=0$.
Решение. Заметим, нам дано квадратное уравнение, но не полное. Коэффициент при х равен нулю. Тогда будем руководствоваться правилом: "те выражения, в которых есть х в квадрате, оставим слева, а все числа перенесем на право". Преобразуем наше выражение: $16x^2=1$.
Разделим обе части уравнения на коэффициент при х квадрат: $x^2=\frac$.
Для решения данного уравнения, нам понадобятся знания корня квадратного. Извлечем корень, не забывая о том, что отрицательное число мы должны тоже учитывать: $x=±\sqrt=±\frac=±0,25$. Ответ: $x=±0,25$.
Пример 2. Решите уравнение: $x^2=18-7x$.
Решение. Перенесем все выражения в левую часть уравнения: $x^2+7x-18=0$.
Обычное квадратное уравнение мы можем решить двумя способами: 1. "в лоб", вычисляя дискриминант; 2. используя теорему Виетта.
1 способ. Выпишем все коэффициенты при квадратном уравнении: $a=1$, $b=7$, $c=-18$.
Найдем дискриминант: $D=b^2-4ac=(7)^2-4*1*(-18)=49+72=121=(11)^2>0$. Получили, что уравнение имеет 2 корня. Нам осталось найти эти корни: $x_1=\frac=\frac=2$. $x_2=\frac=\frac=-9$.
2 способ. Воспользуемся теоремой Виетта. Теорема Виетта часто упрощает решение квадратных уравнений во много раз, особенно когда коэффициент $а=1$. В этом случае произведение корней уравнения равно коэффициенту $с$, и сумма корней уравнения равна минус коэффициенту при $b$: $x_1+x_2=-\frac$. $x_1*x_2=\frac$.
В нашем примере $с=-18$ и $b=7$. Начинаем перебирать пары чисел, произведение которых равно минус восемнадцать. Первые числа приходящие на ум - девятка и двойка. Произведя несколько простых перемножений и сложений можно убедиться, что нам подходят корни $х=-9$ и $х=2$. $x_1*x_2=-9*2=-18=\frac$. x$_1+x_2=-9+2=-7=-\frac$. Ответ: $x=-9$, $x=2$.
Пример 3. Решить уравнение: $x-\frac=\frac$.
Решение. Нам дано обычное линейное уравнение с дробными коэффициентами. Для решения этого уравнения нужно правильно действовать с обычными дробями. Первым действием преобразуем левую часть уравнения, упростив ее: $x-\frac=\frac-\frac=\frac$. Получили уравнение: $\frac=\frac$. Разделим правую часть уравнения на коэффициент при х: $x=\frac$.
Получили: $x=2,5$. Ответ: $x=2,5$.
Пример 4. Решите уравнение: $(x+2)^2=(x-4)^2$.
Решение. Способ 1. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+2)^2=x^2+4x+4$. $(x-4)^2=x^2-8x+16$. Получили: $x^2+4x+4=x^2-8x+16$. Упростим наше уравнение: $x^2+4x-x^2+8x=16-4$. $12x=12$. $x=1$.
Способ 2. При решении данного уравнения мы можем воспользоваться формулой разности квадратов. $(x+2)^2-(x-4)^2=0$. $(x+2+x-4)(x+2-x+4)=0$. $(2x-2)*(6)=0$. $2x-2=0$. $2x=2$. $x=1$. Ответ: $х=1$.
Пример 5. Решить уравнение: $\frac=\frac$.
Решение. Нам представлено дробно-рациональное уравнение. При решении данных уравнений стоит помнить о том, что делить на нуль нельзя. Поэтому корни уравнения стоит проверять всегда, подстановкой их в знаменатель исходного уравнения. Воспользуемся правилом умножения крест на крест: $9(x-9)=14(x-14)$. Получили линейное уравнение: $9x-81=14x-196$. $9x-14x=-196+81$. $-5x=-115$. $x=23$. Проверив наш корень, убеждаемся, что знаменатели дробей исходного уравнения не обращаются в нуль. Ответ: $x=23$.
Пример 6. Найдите решения удовлетворяющие системе: $\begin x^2+9x-22=0, \\ x≤1 \end $.
Решение. Сначала решим квадратное уравнение, воспользовавшись теоремой Виетта. Произведение наших корней равно $22$, а сумма равна $-9$. Подберем корни: $-11*2=-22$. $-11+2=-9$. Получили два корня: $x_1=-11$ и $x_2=2$. Из этих корней неравенству $x≤1$ удовлетворяет первый корень, он и будет ответом. Ответ: $х=-11$.
Пример 7. Решите уравнение: $23x-60-x^2=0$. В ответе укажите модуль разности корней.
Решение. Умножим исходное уравнение на $-1$: $x^2-23x+60=0$. В такой форме уравнение смотрится гораздо привычнее. Воспользуемся теоремой Виетта и представим наше уравнение, как произведение двухчленов: $(x-20)(x-3)=0$. Получили два корня $x_1=20$ и $x_2=3$. Найдем модуль разности: $|x_1-x_2|=|20-3|=|17|=17$. Ответ: 17.
Пример 8. Сколько корней имеет уравнение $x^6-x^2=0?$
Решение. Вынесем за скобку наименьшую степень: $x^2(x^4-1)=0$. Теперь воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 (x^2-1)(x^2+1)=0$. И еще раз воспользуемся той же формулой: $x^2 (x-1)(x+1)(x^2+1)=0$. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений: Получили, что у данного уравнения три корня. Ответ: 3.
Пример 9. Решите уравнение: $\frac=0$. Если уравнение имеет больше одного корня, то в ответ запишите больший из них.
Решение. Исходное уравнение равносильно следующей совокупности: Решим каждое уравнение: Так как знаменатель дроби не может быть равен нулю, одно решение у нас отпадает. Получили один корень уравнения $х=-0,5$. Ответ: -0,5.