Формула Эйлера для комплексных чисел
Формула Эйлера названа именем известного математика Л. Эйлера, который ввел данную формулу. Формула Эйлера позволяет связать комплексную экспоненту (показательную функцию) с тригонометрическими функциями.
Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного (действительного) и комплексного числа $x$ выполняется следующее равенство:
\[e^ =\cos x+i\cdot \sin x,\]
где $e$ -- экспонента, $i$ -- мнимая единица.
Экспонента определяется следующей формулой:
Для некоторого комплексного числа $z=x+yi$ выполняется:
В случае, когда $z$ является вещественным числом $(Imz=0)$, получаем
Если $z$ является чисто мнимым числом $(Rez=0)$, получаем:
Далее используя формулу Эйлера, получаем следующее:
Рассмотрим некоторое комплексное число $z$, записанное в тригонометрической форме $z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$, где $r=|z|=\sqrt $ является модулем этого комплексного числа. С помощью формулы Эйлера, получаем
\[z=r\cdot (\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )=r\cdot e^ .\]
С помощью формулы Эйлера появляется возможность определить функции $\sin $ и $\cos $ следующими формулами:
Введем понятие тригонометрических функций от комплексной переменной. Для $x=iy$ получаем следующие формулы:
Известное тождество Эйлера, которое связывает пять фундаментальных математических констант:
является частным случаем формулы Эйлера при значении переменной $x=\pi $.
Благодаря формуле Эйлера появились тригонометрическая и показательная формы представления комплексного числа.
\[z=a+bi=|z|\cdot (\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )=r\cdot (\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi ).\]
Представление некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ называется тригонометрической формой записи, где число $r$ является модулем комплексного числа $z$, который определяется по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt $, $\varphi $ является аргументом комплексного числа $z$, который определяется по формуле $\varphi =arctg\frac $.
Рассмотрим комплексное число, представленное в тригонометрической форме
\[z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi ).\]
С помощью формулы Эйлера, получим:
Подставим полученное значение в тригонометрическую запись некоторого комплексного числа и получим:
Представление некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot e^ $ называется показательной формой записи, где число $r$ является модулем комплексного числа $z$, который определяется по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt $, $\varphi $ является аргументом комплексного числа $z$, который определяется по формуле $\varphi =arctg\frac $.
Готовые работы на аналогичную темуЗначительным следствием из формулы Эйлера считаются формулы возведения некоторого комплексного числа в степень с произвольным показателем:
Геометрический смысл последней формулы таков: при возведении некоторого числа $z$ в заданную степень $n$ его модуль (расстояние до центра) возводится в заданную степень $n$, а аргумент (угол поворота относительно оси $OX$) увеличивается соответственно в $n$ раз (рис. 1).
Формула возведения в степень заданного комплексного числа верна не только для целых $n$, но и для действительных чисел. В частности, комплексная форма представления числа позволяет найти корни любой степени из произвольного комплексного числа.
Представить заданные комплексные числа в показательной форме:
1) $z=2+0\cdot i$; 2) $z=\frac +\frac \cdot i$.
Показательная форма представления некоторого комплексного числа имеет следующий вид $z=r\cdot e^ $.
1) По условию $a=2,b=0$.
Вычислим модуль исходного комплексного числа:
Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac =arctg0=0.\]
Подставим полученные значения и получим:
Следовательно, $z=2\cdot e^ $ - искомое представление комплексного числа.
2) По условию $a=\frac ,b=\frac $.
Вычислим модуль исходного комплексного числа:
Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):
Подставим полученные значения и получим:
Следовательно, $z=\frac \cdot e^ $ - искомое представление комплексного числа.
Представить заданные комплексные числа в показательной форме:
1) $z=\sqrt \cdot (\cos \frac +i\sin \frac )$; 2) $z=5\cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi )$.
Показательная форма представления некоторого комплексного числа имеет следующий вид $z=r\cdot e^ $.
1) Определим значения модуля и аргумента: $r=\sqrt ,\, \, \varphi =\frac $.
Представление числа в показательной форме имеет следующий вид: $z=\sqrt \cdot e^ $.
2) Определим значения модуля и аргумента: $r=5,\, \, \varphi =2\pi $.
Представление числа в показательной форме имеет следующий вид: $z=5\cdot e^ $.
Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:
Алгебраическая форма представления некоторого комплексного числа имеет следующий вид $z=a+bi$.
1) Запись числа в тригонометрической форме имеет следующий вид: $z=3\cdot (\cos \frac +i\sin \frac )$.
По таблице косинусов и синусов $\cos \frac =\frac ;\sin \frac =\frac $.
Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:
Следовательно, $z=\frac +\frac \cdot i$ - искомая запись комплексного числа.
2) Запись числа в тригонометрической форме представления имеет следующий вид: $z=6\cdot (\cos \pi +i\sin \pi )$.
По таблице косинусов и синусов $\cos \pi =-1;\sin \pi =0$.
Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:
\[z=3\cdot \left(-1+0\cdot i\right)=-1+0\cdot i.\]
Следовательно, $z=-1+0\cdot i$ - искомое представление комплексного числа.