Сила упругости. И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru

1 И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Сила упругости Задача 1. (МОШ, 2018, 10 ) На пружине жёсткостью k = 100 Н/м, прикреплённой к потолку, покоится тело массой m = 2 кг (см. рис.). На него начинает действовать направленная вертикально вниз сила F = 30 Н. Найти первоначальную деформацию пружины и работу силы F к тому моменту, когда груз опустится на высоту h = 10 см. g = 10 м/с 2. x0 = mg k = 20 см; A = F h = 3 Дж Задача 2. (Всеросс., 2018, ШЭ, 10 ) В системе, состоящей из трёх одинаковых динамометров и груза, подвешенных определённым образом друг за другом (см. рисунок слева), динамометр A показывает значение F 1 = 3,8 Н, а динамометр B показывает F 2 = 2,2 Н. Определите, что будет показывать каждый из динамометров, если систему перевернуть и вновь подвесить (см. рисунок справа). Пружины динамометров очень лёгкие. FA = F 2 2 = 1,1 Н, F B = F1 F 2 2 = 2,7 Н, F C = F1 + F 2 2 = 4,9 Н Задача 3. (Всеросс., 2017, ШЭ, 10 ) Лёгкая пружина жёсткостью k = 40 Н/м состоит из N = 40 витков. Определите, на сколько сантиметров увеличится расстояние между двенадцатым и двадцать пятым витками вертикально расположенной пружины, если к ней подвесить груз массой m = 600 г. Модуль ускорения свободного падения считайте равным g = 10 м/с 2. x = 13mg k(n 1) = 5 см Задача 4. («Покори Воробьёвы горы!», 2017, ) Два отрезка лески изготовлены из одинакового материала. При этом диаметр первой лески в два раза меньше, чем у второй, а длина в два раза больше. Под весом прикреплённого к концу лески груза первая леска растянулась на 4 мм (что значительно меньше её длины). Какой будет величина деформации второй лески, если на ней подвесить тот же груз? 0,5 мм 1

2 Задача 5. (Всеросс., 2005, финал, 9 ) Три резиновых шнура связывают вместе и медленно растягивают в разные стороны (рис. слева). В некоторый момент длины всех трёх шнуров оказываются равны L 1 = 20 см. Затем шнуры растягивают под другими углами (рис. справа). В этом случае равенство длин шнуров наступает при длине L 2 = 30 см каждого из них. Известна начальная длина самого длинного шнура в недеформированном состоянии: l = = 15 см. Найдите длины двух других шнуров и отношение жёсткостей шнуров. Считайте, что резиновые шнуры подчиняются закону Гука. l1 = l2 11,1 см; k1 : k2 : k3 = 1 : 1 : 1,78 Задача 6. (МОШ, 2017, 9 ) Система, состоящая из закреплённого и подвижного блоков массой m = 1,0 кг, пружины и нескольких грузов, находится в равновесии. g = 10 м/с 2. Определите: 1) чему равна масса груза M; 2) сжата или растянута пружина; 3) чему равна сила упругости пружины. 1) M = 3m = 3,0 кг; 2) растянута; 3) F = 2mg = 20 Н Задача 7. («Росатом», 2017, 11 ) Лёгкую пружину подвесили за один конец к потолку. Если к свободному концу пружины прикрепить груз массой m, то её длина будет равна l 1. Если от пружины отрезать одну четверть, а к её оставшейся части прикрепить груз массой 2m, её длина будет равна l 2. Найти коэффициент жёсткости первоначальной пружины. k = 3mg ; решение есть при условии 4l 2 > 3l1 4l2 3l1 Задача 8. Неподвижный груз массы m висит на вертикально расположенной пружине жёсткостью k. Груз оттягивают вниз на небольшое расстояние x и отпускают. Найдите ускорение груза сразу после отпускания. Сопротивлением воздуха пренебречь. a = kx m Задача 9. (МФТИ, 1995 ) Шары с массами m 1, m 2 и m 3 подвешены к потолку с помощью двух невесомых пружин и лёгкой нити (см. рисунок). Система покоится. 1) Определить силу натяжения нити. 2) Определить ускорение (направление и модуль) шара массой m 1 сразу после пережигания нити. m 1 m 2 g, направлено вертикально вверх 1) T = (m2 + m3)g; 2) a1 = m 2+m3 m1 m 3 2

3 Задача 10. (МФТИ, 1995 ) К потолку с помощью лёгкой нити и двух невесомых пружин подвешены грузы массами m 1, m 2 и m 3 (см. рисунок). Система покоится. 1) Определить силу натяжения нити. 2) Определить ускорение (направление и модуль) груза массой m 1 сразу после пережигания нити. 1) T = (m1 + m2 + m3)g; 2) a1 = m 1+m2+m3 m1 g, направлено вертикально вниз Задача 11. (Всеросс., 1997, ОЭ, 9 ) Груз массы M и шарик массы m висят на трёх невесомых пружинах одинаковой жёсткости (рис.). Верхняя пружина отрывается от шарика в точке A. Определите ускорение a (модуль и направление) шарика в начальный момент после отрыва. a = M+m m g 2; на юго-запад Задача 12. (МОШ, 2008, 9 ) Коробка массой M подвешена на нитке к потолку комнаты (см. рисунок). Внутри коробки на лёгкой пружине подвешен груз массой m. Нитку пережигают. Найдите ускорения груза и коробки сразу после пережигания нити. Ускорение свободного падения равно g. A = M+m M g (вниз); a = 0 Задача 13. («Курчатов», 2016, 9 ) Пружина расположена вдоль оси X. Один из концов пружины закреплён. Для перемещения второго конца пружины из положения с координатой a в положение с координатой b потребовалось совершить работу A. Для перемещения этого же конца пружины из положения с координатой 2a в положение с координатой 2b потребовалось совершить работу 1,5A. Какая работа потребуется для перемещения этого же конца пружины из положения 3a в положение 3b? 1,5A Задача 14. («Курчатов», 2014, 11 ) В невесомости грузик массой m подвесили на резинку жёсткостью k и раскрутили с угловой скоростью ω. Найдите относительное удлинение резинки, а также отношение энергии упругой деформации к кинетической энергии груза. mω 2 k mω 2 и mω2 k, если ω < k m ; иначе пружина не удержит груз Задача 15. («Покори Воробьёвы горы!», 2014, ) Тонкое кольцо радиусом R сделано из материала плотностью ρ и модулем Юнга E. На сколько изменится длина окружности кольца, если его закрутить вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости кольца с угловою скоростью ω? Изменения длины считать малыми. l = 2π ρω2 R 3 E 3

4 Задача 16. (Всеросс., 1997, финал, 10 ) Из тонкого шнура массой m с коэффициентом упругости k сделано кольцо радиусом r 0. Кольцо надевают на прямой круговой конус с углом при вершине 2α (рис.). Ось конуса вертикальна, его поверхность гладкая. Найдите радиус r кольца, находящегося на конусе. До какой угловой скорости ω надо раскрутить кольцо вместе с конусом вокруг оси конуса, чтобы радиус кольца, находящегося на конусе, стал 2r? r = r0 + mg 4π 2 k ctg α; ω = π 2k m Задача 17. (МОШ, 2013, 10 ) Проводя опыты с верёвкой, школьник Вася обнаружил, что её удлинение пропорционально растягивающей силе, причём при силе натяжения F 0 = 4 кн удлинение составляет 20% от начальной длины. Вася закрепил концы верёвки на стволах двух деревьев, расположенных на расстоянии L = 20 м друг от друга на разных берегах реки. Верёвка оказалась на высоте 0,1L = 2 м над водой. Груз какой максимальной массы можно прикрепить к середине верёвки, чтобы он в положении равновесия не оказался в воде? Решите задачу в двух случаях: (а) длина ненатянутой верёвки равна L; (б) верёвка вначале натянута с силой F 0 /3, то есть длина ненатянутой верёвки меньше L. Размерами груза можно пренебречь. Ускорение свободного падения g = 10 м/с 2. (а) m 0,04F0/g = 16 кг; (б) m 0,176F0/g = 70,4 кг Задача 18. (МОШ, 2013, 10 ) На лабораторной работе по физике отличнику Грише и красавице Арише с помощью системы блоков, изображённой на рисунке, требовалось измерить массу воды, налитой в сосуд, который сам был нелёгким. К одной из нитей Гриша прикрепил динамометр, жёсткость пружины которого была известна и равна 1000 Н/м. Гриша налил воды в сосуд и аккуратно измерил удлинение пружины. В этот момент Ариша случайно задела небольшую пробку в дне сосуда и, вооружившись тряпкой, стала ликвидировать растекающуюся по столу воду. Гришу же заинтересовало совсем другое явление он стал записывать значения удлинения пружины, поглядывая на часы. Используя график, получившийся у ребят, определите, сколько граммов воды в секунду вытекало из сосуда. 4 г/с 4

5 Задача 19. («Росатом», 2017, 8 9 ) Три одинаковые пружины с коэффициентами жёсткости k связаны кусками невесомой нерастяжимой нити. Полученная нить переброшена через три невесомых блока, привязанных к вертикальным стенам с помощью одинаковых пружин с коэффициентами жёсткости 3k (см. рисунок). На конец нити действуют силой F. Насколько переместится при этом конец нити? x = 7F k Задача 20. («Росатом», 2016, 9 10 ) Через блок, прикреплённый к потолку с помощью пружины, перебросили верёвку. К одному концу верёвки прикрепили тело массой m, к другому пружину, второй конец которой закреплён на полу (см. рисунок). Коэффициенты жёсткости пружин равны k и 2k. На сколько переместится тело по сравнению с положением, когда пружины недеформированы? Массой блока пренебречь. x = 9mg 2k Задача 21. (Всеросс., 2002, ОЭ, 9 ) Однородную пружину длины L разрезали на две части, одна из которых имеет длину l 1. Из получившихся кусков пружины, нерастяжимой нити и подвижного блока собрали систему (рис.). На верхний конец пружины длиной l 1 села муха Цокотуха. В некоторый момент времени блок начали поднимать вертикально вверх со скоростью v 0. С какой скоростью стала подниматься сидящая на конце пружины муха Цокотуха? Трения в блоке нет. Вес мухи Цокотухи, нити, пружины и блока можно не учитывать. v1 = 2v0 l 1 L Задача 22. (Всеросс., 2006, ОЭ, 10 ) К невесомой пружине, имеющей 500 витков, подвесили груз, в результате чего она удлинилась на x 0 = 10 см. Затем груз убрали и нрастяжимым нитями связали виток 100 с витком 300, а виток 200 с витком 400 (рис.). Длина каждого куска нити равна длине участка пружины между связываемыми витками в свободном состоянии. На какую величину x удлинится пружина при наличии нитей, если к ней подвесить тот же груз? x = 7 15 x 0 = 14 3 см Задача 23. (Всеросс., 2009, РЭ, 10 ) Три одинаковые длинные «резинки», которые при растяжении подчиняются закону Гука, уложили параллельно друг другу и совместили концы, которые с одной стороны связали узлом. Два свободных конца взял в руки Вася, а третий свободный конец Петя. Вася, держа концы резинок, бежит на север со скоростью 8 м/с, а Петя, держа свою резинку, бежит на восток со скоростью 9 м/с. В тот момент, когда резинки выпрямились и совсем немного растянулись, они расположились в направлении «восток запад». С какой по модулю скоростью двигался в этот момент узел? 5 м/с 5

6 Задача 24. (Всеросс., 1993, ОЭ, 10 ) На дне колодца лежит небольшого размера груз массы m, привязанный к невесомому упругому шнуру. Другой конец шнура прикреплён к оси колодезного ворота, а на самом шнуре сделана метка (рис.). В начальный момент времени шнур не провисает и не растянут. Затем ворот начинают вращать, наматывая шнур на ось. Какую работу нужно совершить, чтобы оторвать груз от дна колодца? В начальный момент длина шнура равна l, а метка на шнуре находится на расстоянии 0,9l от дна колодца. Известно также, что шнур, наматываясь на ворот, не проскальзывает по нему, а метка в момент отрыва груза от дна колодца оказывается на оси ворота. A = 1 18 mgl Задача 25. (Всеросс., 2015, РЭ, 10 ) Внутри чёрного ящика находятся две лёгкие пружины с жесткостями k и 2k, связанные лёгкой нерастяжимой нитью, и лёгкий подвижный блок (см. рисунок). В начальном состоянии внешняя сила F = 6 Н, приложенная к свободному концу нити, обеспечивает деформацию нижней пружины x = 1 см. Какую минимальную работу должна совершить внешняя сила, чтобы сместить вниз свободный конец нити ещё на x? A = 7 6 F x = 0,07 Дж Задача 26. (Всеросс., 2014, РЭ, 10 ) На двух лёгких одинаковых пружинах, соединённых нитью AB, висит груз массы m. Жёсткость каждой пружины равна k. Между витками пружины протянули ещё две нити: одну прикрепили к потолку и к верхнему концу B нижней пружины, а вторую к грузу и нижнему концу A верхней пружины (см. рисунок). Эти две нити не провисают, но и не натянуты. Нить AB перерезали. Через некоторое время система пришла к новому положению равновесия. Найдите изменение потенциальной энергии системы. W = (mg)2 4k 6

7 Задача 27. (МОШ, 2012, 2014, 10 ) На рисунке показан график зависимости модуля силы F растяжения пружины от её удлинения x (при больших деформациях пружина не подчиняется закону Гука). Пружину прикрепляют одним концом к потолку. К другому концу пружины, не деформируя её, аккуратно подвешивают груз массой m = 650 г, после чего отпускают груз без начальной скорости. Оцените, на какую максимальную длину растянется пружина. Трением и массой пружины пренебречь, ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с 2. x0 10 см Задача 28. (МОШ, 2012, 11 ) Резиновый жгут и пружина в нерастянутом состоянии имеют одинаковые длины. Коэффициент жёсткости пружины равен k = 4 Н/м. График зависимости модуля f силы растяжения жгута от его удлинения x приведён на рисунке. Пружина и жгут очень лёгкие. Пружину подвешивают за один из концов к потолку, а к её второму концу прикрепляют конец жгута (при этом пружина и жгут оказываются соединёнными последовательно). 1) К свободному нижнему концу жгута прикладывают направленную вниз силу с модулем F = 0,7 Н. На какую суммарную величину X растянутся пружина и жгут? 2) Найдите массу m груза, который нужно подвесить к свободному нижнему концу жгута, чтобы суммарное удлинение системы в положении равновесия было равно L = 20 см. 3) Оцените энергию E, которая будет запасена в жгуте при подвешивании к его свободному нижнему концу покоящегося груза найденной выше массой m. 4) Груз этой массой m, подвешенный к свободному нижнему концу жгута, заставили свободно колебаться с амплитудой A = 2 мм вокруг положения равновесия. Пренебрегая трением, оцените, чему будет равен период таких колебаний груза. При решении задачи считайте, что ускорение свободного падения равно g = 10 м/с 2. 1) X = 31,5 см; 2) m = 40 г; 3) E = 18 ± 2 мдж; 4) T = 0,84 ± 0,05 с 7