СМО с ожиданием (одно- и многоканальная)
теперь одноканальную СМО с ожиданием. Входящий поток заявок на обслуживание имеет интенсивность л. Интенсивность потока обслуживания равна м (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать м обслуженных заявок). Длительность обслуживания -- случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания. Предположим, что независимо оттого, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), из которых одна обслуживается, а (N-1) ожидают. Клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте и такие заявки теряются. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.
Обозначим Pn - вероятность того, что в системе находится n заявок:
Здесь - приведенная интенсивность потока. Тогда вероятность того, что канал обслуживания свободен и в системе нет ни одного клиента, равна:
С учетом этого можно обозначить
Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N-1). Вероятность отказа в обслуживании заявки:
относительная пропускная способность системы:
абсолютная пропускная способность:
среднее число находящихся в системе заявок:
среднее время пребывания заявки в системе:
средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:
среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):
Пример одноканальной СМО с ожиданием:
Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3, то есть (N- 1)=3. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику имеет интенсивность л=0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно =1,05 час.
Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.
Решение: Интенсивность потока обслуживаний автомобилей: Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей л и м, т.е.
Вычислим вероятности нахождения n заявок в системе:
Вероятность отказа в обслуживании автомобиля: Pотк=Р4=r 4 •P0?0,158.
Относительная пропускная способность поста диагностики: q=1-Pотк=1-0,158=0,842.
Абсолютная пропускная способность поста диагностики : А=л•q=0,85•0,842=0,716 (автомобиля в час).
Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди:
Среднее время пребывания автомобиля в системе:
Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание: Wq=Ws-1/м=2,473-1/0,952=1,423часа. Среднее число заявок в очереди (длина очереди):
Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обнаруживает автомобили в среднем в 15,8% случаев (Ротк=0,158).
Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания с ожиданием. Процесс массового обслуживания при этом характеризуется следующим: входной и выходной потоки имеют интенсивности л и м соответственно, параллельно обслуживаться могут не более С клиентов, то есть система имеет С каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна .
Вероятности того, что в системе находятся n заявок (С - обслуживаются) равна:
Решение будет действительным, если выполняется следующее условие:
Остальные вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяется по следующим формулам:
среднее число клиентов в очереди на обслуживание
среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на обслуживание и в очереди)
средняя продолжительность пребывания заявки на обслуживание в очереди :
средняя продолжительность пребывания клиента в системе :
Пример: Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, пуассоновский и имеет интенсивность л=2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно tоб=0,5 сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно.
Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы:
- - вероятность состояний системы;
- - среднее число заявок в очереди на обслуживание;
- - среднее число находящихся в системе заявок;
- - среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;
- - среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.
Определим параметр потока обслуживаний :
Приведенная интенсивность потока заявок: с=л/м=2,5/2,0=1,25, при этом л/м •с=2,5/2•3=0,41<1.
Поскольку л/м•с < 1, то очередь не растет безгранично и в системе наступает предельный стационарный режим работы. Вычислим вероятности состояний системы: