Равновесные распределения в некоторых задачах символической динамики со счётным числом состояний тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Работа выполнена на кафедре математической статистики и случайных процессов механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Б.М. Гуревич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор A.M. Степин

кандидат физико-математических наук, научн. сотр. СВ. Савченко

Институт Проблем Передачи Информации РАН

Защита диссертации состоится " О " Марты 2004 г. в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу:

119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14-й этаж).

Учёный секретарь диссертационного совета

Д.501.001.85 в МГУ,

доктор физико-математических наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Символическая динамика занимается изучением динамических систем, у которых в качестве точек фазового пространства фигурируют бесконечные наборы символов, принадлежащих конечному или счётному алфавиту, или, как ещё говорят, множеству состояний. При этом наиболее распространённым и во многих случаях естественным преобразованием, задающим динамику, является сдвиг; вместе с тем, зачастую возникает необходимость рассматривать и другие преобразования (это относится, например, ко второй главе диссертации). Методы символической динамики играют важную роль при изучении классических динамических систем гиперболического типа, в частности, геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны, (см. М И Ю М). Существует также тесная связь между символическими системами и решётчатыми моделями статистической физики^ И

Систематическое исследование символических систем со счётным множеством состояний началось сравнительно недавно, в конце 70-х — первой половине 80-х гг. Необходимо отметить, что наличие у символической динамической системы счётного (а не конечного) числа состояний и связанная с этим некомпактность фазового пространства существенным образом усложняют её изучение и приводят к возникновению целого ряда новых задач, которые не актуальны или даже не имеют смысла в случае конечного числа состояний. В то же время подобные системы естественным образом появляются, например, при рассмотрении рассеивающих биллиардов М. Источником значительного числа задач символической динамики со счётным множеством состояний служит термодинамический формализм — совокупность идей и понятий, пришедших в теорию динамических систем из статистической физики (выделим здесь работы^ И t10l).

'ЧСнвай Я.Г. Марковские разбиения к У-диффеоморфизмы. Фуикц. анализ и его прил., 2 (1968), N1, 64-89.

Plßoy» Р. Методы символической динамики. — М.: Мир, 1979.

I3' Lalley S. Renewal theorems in symbolic dynamics with applications to geodesic flows, non-Euclidean tesselations and their fractal limit sets. Acta Mathematica, 163 (1990), 1-55.

(''Bedford Т., Keane M., Señes С. (Eds). Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces. — Oxford

P'Ruelle D. Thermodynamic formalism. — Reading, MA: Addison-Wesley, 1978.

Iе!Keller G. Equilibrium states in ergodic theory. — Cambridge Univ. Press, 1998.

[^Бувимоввч Л.А., Синай Я.Г., Чернов Н.И. Марковские раэбкеиия для двумерных гиперболических бил-

Р'Гуреввч Б.М., Савченко С.В. Термодинамический формализм дли символически* цепей Маркова со счетным числом состояний. УМВ, 53 (1998), вып. 2, 3-106.

'''Sarig О.М. Thermodynamic formalism for countable Markov shifts. Ergod. Th. and Dynam. Sy»t., 19(1999),

(l0'Yuri M. Multi-dimensional maps with infinite invariant measures and countable state sofic shifts. Indttg. Math.,

В рамках термодинамического формализма одним из основных является понятие равновесного распределения. Пусть заданы топологическая динамическая с и с т А ([У,Т) (т.е. топологическое пространство Г с непрерывным отображением Т : К —> У) и непрерывная функция / : У М. Тогда на Т-инвариантных борелевских вероятностных мерах ц на Т можно рассмотреть функционал = + //¿А1? где ЛДХ1) — энтропия преобразования Т

относительно меры /х, причём мы вначале берём только те меры, для которых сумма энтропии и интеграла имеет смысл. В случае некомпактного пространства У, когда могут возникнуть "плохие" меры /х, т.е. меры с ЛМ(Т) = с», / /(1(1 = —оо, иногда удаётся продолжить 'Р(-) и на них. (см. М М). Меры, на которых достигается верхняя грань функционала 7>(*), называются равновесными распределениями (относительно /). При / = 0 равновесные распределения — это меры с максимальной энтропией. Среди наиболее важных вопросов, возникающих в связи с вариационной задачей для функционала выделим следующие: о существовании и единственности равновесного распределения; о возможности охарактеризовать равновесное распределение как гиббсовскую меру (другими словами, вопрос о справедливости вариационного принципа Гиббса); вопрос о предельном поведении последовательностей равновесных распределений, отвечающих исчерпывающим последовательностям "конечных подсистем" исходной системы.

В диссертации рассматриваются три задачи символической динамики, в которых главным предметом исследования является понятие равновесного распределения в контексте сформулированных выше вопросов.

В первой главе диссертации рассматриваются специальные потоки над некоторым классом топологических цепей Маркова, а именно, над локальными возмущениями топологической схемы Бернулли со счётным числом состояний. Под локальным возмущением понимается результат удаления конечного множества рёбер в соответствующем графе. Первая задача заключается в том, чтобы найти достаточные, а если возможно, то и необходимые условия существования (единственной) меры с максимальной энтропией для специального потока 5/, построенного по любому локальному возмущению счётной топологической схемы Бернулли и по функции /, определённой на фазовом пространстве этой схемы Бернулли. Таким образом, изучается устойчивость свойства потока иметь меру с максимальной энтропией при локальных возмущениях базы потока.

ln'Gurevich B.M. A variational characterization of one-dimensional countable state Gibba random fields. Z. Wahr-teheinlichkeüttheorie vera. Gebiete, OS (1984), 205-242.

l1J'Walteis P. Invariant measures and equilibrium states for some mappings which expand distances. 7Vmu. Amer.

Специальные потоки, построенные по счётным топологическим цепям Мар -кова и положительным локально-постоянным функциям, исследовались в работе!15) СВ. Савченко. Его результаты используются в первой главе диссертации, где в качестве функции /, определяющей поток, берутся функции нескольких типов. В случае, когда / зависит только от нулевой координаты Уо последовательности у — (у,*) из базы потока, получены необходимые и достаточные условия устойчивости в указанном выше смысле. Для локально-постоянных функций / и функций с суммируемыми вариациями приводятся достаточные условия устойчивости. Применение полученных результатов иллюстрируется на примере исследования геодезического потока на модулярной поверхности'14)

Вторая глава диссертации посвящена вопросам, побудительным мотивом к изучению которых была работа Фихтнера^16'. В связи с некоторыми математическими проблемами квантовой статистической механики в '161 использовался специальный класс случайных перестановок счётного множества 2.. Не вдаваясь в точное описание модели Фихтнера (которое приводится ниже), отметим, что в ней фигурирует неотрицательная матрица а = (а*,у)х,уег с <*XlX = 1 и для каждого конечного z С z строится случайная перестановка множества , распределение которой определяется по а в соответствии с заданным правилом. Фихтнер исследовал предельные точки последовательностей таких случайных перестановок при монотонном стремлении отвечающих им конечных множеств к Z. Оказалось, что на а можно наложить дополнительное ограничение, при котором предельные точки указанных последовательное -тей окажутся случайными перестановками множества , разложимыми на конечные циклы, а их распределения будут гиббсовскими мерами со спецификацией, которая выражается через матрицу а.

В качестве множества z в главе 2 диссертации берётся одномерная целочисленная решётка Z и ставится задача, отталкиваясь от модели Фихтнера, получить на множестве перестановок целых чисел класс вероятностных мер, которые в известном смысле можно считать равновесными распределениями, а затем исследовать эти меры с точки зрения термодинамического формализма. При этом важно подчеркнуть два момента. Во-первых, на множестве перестановок целых чисел необходимо ввести подходящее преобразование Т,

["'Савченко С.В. Специальны« потом, построенные по счётным топологический neaiu Маркова. Функц.

("'KatoV S. Coding of closed geodesies after Gauss and Morse. Geimctrioe dedicate, вЗ (1996), 123-145.

("iGurevich B.M., Katok S. Arithmetic coding and entropy for the positive geodesic flow on the modular surface.

["iFichtner K. -H. Random permutations of countable sets. Prob. Theory and JUL Fields, 80 (1991)» 35-60.

отличное от сдвига (сдвиг для наших целей не годится, поскольку множество перестановок Z, которые разлагаются на конечные циклы, относительно сдвига неинвариантно). Предлагается определить действие преобразования Т на перестановки д : Z —> Z по правилу (Тд)(х) = 5(х+1) — 1, х £ Z. Во-вторых, требуется подобрать "правильный" класс матриц а, которые "согласованы" с преобразованием Т. По этой причине в работе рассматривается класс men-лицевых матриц а.

В диссертации для теплицевых матриц с конечным числом ненулевых диагоналей вычисляются распределения соответствующих предельных случайных перестановок множества Z. Доказано, что эти распределения Т-инвари-антны и что они являются подходящими кандидатами на роль искомых равновесных распределений на множестве перестановок целых чисел. Изучены свойства полученных равновесных распределений.

Задача, которой посвящена третья глава диссертации, состоит в том, чтобы обобщить понятие устойчиво-возвратной неотрицательной матрицы на случай функций общего вида, заданных на пространстве путей счётного графа.

Исходя из классификации неразложимых цепей Маркова со счётным числом состояний по ассимптотическому поведению их переходных вероятностей, Вир-Джонс t17l l13¡ дал определение возвратной, нуль-возвратнои и положительно-возвратной бесконечной неотрицательной матрицы. Сариг!") I19) распространил эти понятия на случай действительнозначных функций, определённых на пространстве односторонне-бесконечных путей счётного графа; оказалось, что функции и матрицы из аналогичных классов обладают во многом схожими свойствами. Более узкое понятие устойчиво-возвратной неотрицательной матрицы было введено Б.М. Гуревичем в^. Выяснилось, что устойчивая возвратность играет важную роль в вопросах сходимости равновесных распределений, отвечающих конечным подматрицам бесконечной неотрицательной матрицы (см. Р1! Так, устойчивая возвратность бесконечной неотрицательной матрицы А, в отличие от положительной возвратности, гарантирует сходимость последовательности равновесных распределений, построенной по исчерпывающей последовательности неприводимых конечных подматриц матрицы А, к равновесному распределению, отвечающему А.

PlVere-Jone« D. Geometrie ergodicity ш ¿enumerable Markov chaina. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 13 (1962),

("lVere-Jonej D. Ergodic properties of nonnegative matrices 1. Pacific J. Math., 22 (1967), 361-386-

WSarig О •M. Thermodynamic formalism for null reccurent potentials. Israel J. Math., 121 (2001)» 285*311.

Р°'Гуреаич Б.М. Устойчиво-возвратные неотрицательные матрицы. УМН, 51 (1996), вып. 3, 195-196.

'"'Гуревич Б.М. Конечные аппроксимации бесконечных неотрицательных матриц и сходимость равновесных распределений. ДАН, 347 (1996), №6, 732-735.

Данное в диссертации определение устойчиво-возвратной функции выражается в терминах радиусов сходимости производящих функций локальных статистических сумм. Показано, что свойства устойчиво-возвратных функций аналогичны основным свойствам устойчиво-возвратных матриц.

Цель работы: исследовать устойчивость структуры множества мер с максимальной энтропией для специальных потоков, построенных над счётной топологической схемой Бернулли, при локальных возмущениях базы потока; получить на множестве перестановок целых чисел класс равновесных распределений и изучить эти распределения в контексте термодинамического формализма; обобщить понятие устойчиво-возвратной неотрицательной матрицы на случай функций общего вида, заданных на пространстве путей счётного графа.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1) Получен критерий устойчивости структуры множества мер с максимальной энтропиейдля специального потока, построенного над счётной топологической схемой Бернулли по функции вида , при локальных возмущениях базы потока.

2) Для более общей по сравнению с предыдущим пунктом ситуации локально-постоянных функций / и функций / с суммируемыми вариациями найдены достаточные условия устойчивости.

3) На множестве перестановок целых чисел с помощью предельного перехода построен естественный класс вероятностных мер и установлено, что эти меры представимы в виде равновесных распределений.

4) Для полученных равновесных случайных перестановок множества Ъ доказана справедливость вариационного принципа Гиббса.

5) Понятие устойчиво-возвратной неотрицательной матрицы обобщено на случай функций общего вида, заданных на пространстве путей счётного графа.

6) Доказано, что основные свойства устойчиво-возвратных функций аналогичны свойствам устойчиво-возвратных матриц.

Методы исследования. В работе используются: метод производящих функций, методы и результаты теории дискретных марковских цепей и теории неотрицательных матриц, комбинаторные методы теории вероятностей, метод трансфер-матрицы, результаты теории динамических систем и функционального анализа, а также стандартные аналитические и вероятностные методы.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертации но-

сят теоретический характер. Они могут быть полезны специалистам, работающим на стыке теории вероятностей, статистической физики, теории динамических систем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории вероятностей и статистической физике механико-математического факультета МГУ (под рук. проф. Б.М. Гуревича и проф. В.И. Оселедца), на Колмогоровских чтениях (Москва, 2000) и на Конференции молодых учёных в МГУ (2001).

Публикации. По теме диссертации опубликованы три работы [1-3], список которых приведён в конце настоящего автореферата.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 36 наименований. Общий объём диссертации составляет 139 страниц.

Во введении даётся краткое описание рассматриваемых задач и связанных с темой диссертации известных фактов, а также приводится обзор основных результатов, полученных в диссертации.

Глава 1. Пусть С — ориентированный связный граф с конечным или счётным множеством в е рта У((7) и множеством рёбер £(6) С X У(С) Путем в Сг, ведущими V 6Е в г/ £ У(С), бу; называть такую последовательность В ИН 7 = («0,^1, • • • »"я), П > 1 ЧТО Го = V, Уп = у' и € при < к < п — 1. Связность графа <? означает, что для любых двух его вершин оио' существует шути,, который ведёт из и в г/ Рассмотрим множество

двусторонне-бесконечных путей в графе £7. Снабдим множество У((?) дискретной топологией и зададим на У [С) С У(С?)2 топологию, индуцированную топологией прямого произведения. Конечномерные цилиндры марковскую вероятностную меру цА с переходными вероятностями р(у,т?) = а^т]^ /\(А)г>п , г>, г>' € V и начальным (стационарным) распределением р(и) = € V. Меру Ца будем называть А-равновесной'2Ч; она сосредоточена на множестве У(Г) двусторонне-бесконечных путей графа Г.

1"'Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Науха, 1967.

Множество , будем называть

Определение. Пусть J С Z, п > 1. Будем говорить, что последовательность (ji,ji. jn), ji £ J, является J-допустимой, если существуют т £ N,

т > п., и перестановкаg отрезкаiV[l,n] такие, чтор(»)—t £ J, Vi 6 iVjl,m]; 2) найдётся отрезок Лф"о,го + п

1] С N[l,m] т а кщ,что g(i) — г = ji-i,+1 V¿£ jV[í0,i0 + n-l].

Пусть а = (o¡x,y)*,yeZ — теплицева матрица, имеющая конечное число ненулевых диагоналей, т.е. . Положим

</(<*)>• По матрице а построим конечный ориентированный граф Г(а), взяв в качестве множества его вер еУ(Г(с*)) с е J(а)-допустимые последова-т е л ь й = («i,ií2. i¿2*) длины а в качестве рёбер — такие пары (й,й') вершин й = (uii«í2,л.,Щк) ü' = («'ц"г,•••,"«)» что и2 = u'v щ = v¡¡. U2t = «24-1 и после /Льность (щ,и2. ,it2jt,u'2k) является ^(а)-допустимой. В диссертации показано, что граф Г(а) связен. Определим матрицу , полагая для ,

ребр0 В [О в противном случае.

Из определения видно, что >1(а;) — весрвая матрица для графа Г(а)

Для теплицевых матриц с конечным числом ненулевых диагоналей в диссертации вычисляется предельная мера Р. В частности, показано, что в этом случае предельная мера не зависит от последовательности а

определяется только матрицей .

Теорема 2.1. П у а = (atx,y)x,y€Z " теплицева матрица, удовлетворяющая условиям (а)-(с) u #•/(<*) < со. Тогоа существует такая

Т-инвариантная вероятностнаямера Ра, что Ра